2*2

Для решения задачи о построении графика функции \( y = x \cdot |x| + 2|x| - 2x \), начнем с упрощения выражения и анализа его поведения при различных значениях переменной \(x\).

Шаг 1: Разобьем на случаи

Функции, содержащие модуль, часто разбиваются на отдельные случаи в зависимости от знака выражения внутри модуля.

1. Случай 1: \( x \geq 0 \)

   • Здесь \( |x| = x \).
   • Функция становится: \[ y = x \cdot x + 2x - 2x = x^2 \]
   • Таким образом, при \( x \geq 0 \), функция \( y = x^2 \).

2. Случай 2: \( x < 0 \)

   • Здесь \( |x| = -x \).
   • Функция становится: \[ y = x \cdot (-x) + 2(-x) - 2x = -x^2 - 2x - 2x = -x^2 - 4x \]
   • Таким образом, при \( x < 0 \), функция \( y = -x^2 - 4x \).

Шаг 2: Построение графика

Теперь, когда у нас есть выражения для каждого случая, нарисуем график:

• Для \( x \geq 0 \), график функции — это парабола, открытая вверх, потому что \( y = x^2 \).
• Для \( x < 0 \), график функции также является параболой, но она открыта вниз и сдвинута из-за линейного члена \( -4x \).

Шаг 3: Анализ точек

Нужно проверить, в каких точках график пересекается. Рассмотрим стык, точку \(x = 0\):

• При \(x = 0\), из обоих случаев:
  • \(y = 0^2 = 0\)
  • \(y = -0^2 - 4 \times 0 = 0\)

Значит, график действительно непрерывный в этой точке.

Вывод

• \(x \geq 0\): \(y = x^2\) (парабола вверх).
• \(x < 0\): \(y = -x^2 - 4x\) (парабола вниз и сдвиг).

Таким образом, рассмотрев обе части графика, можно увидеть, как меняется функция при пересечении оси \(x\).