В параллелограмме ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3 и диагональю AC = 6 найдите длину вектора CA - DA.

Для решения задачи начнем с понимания, что нам нужно найти длину вектора \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{DA} \) в параллелограмме ABCD.

Шаг 1: Определим векторы

В параллелограмме ABCD:

• \( \overrightarrow{CA} \) направлен из точки C в точку A.
• \( \overrightarrow{DA} \) направлен из точки D в точку A.

Параллелограмм имеет следующие свойства:

• Противоположные стороны равны: \( AB = CD \) и \( BC = AD \).
• Диагонали пересекаются и делят друг друга пополам.

Шаг 2: Выразим векторы через координаты

Рассмотрим координаты вершин параллелограмма:

• Положим \( A(0, 0) \).
• Положим \( B(4, 0) \) (поскольку \( AB = 4 \)).
• Чтобы найти координаты C, учтём, что \( BC = 3 \) и диагональ \( AC = 6 \). Зададим координаты точки \( C(x, y) \).

Сначала найдем точки C. Поскольку расстояние от B до C равно 3, у нас будет следующее уравнение: \[ \sqrt{(x - 4)^2 + y^2} = 3. \] После возведения в квадрат, получим: \[ (x - 4)^2 + y^2 = 9. \]

Теперь используем условие для диагонали AC: \[ \sqrt{x^2 + y^2} = 6. \] Возводим в квадрат: \[ x^2 + y^2 = 36. \]

Шаг 3: Решим систему уравнений

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( (x - 4)^2 + y^2 = 9 \)
2. \( x^2 + y^2 = 36 \)

Решим первое уравнение: \[ x^2 - 8x + 16 + y^2 = 9 \Rightarrow x^2 + y^2 - 8x + 16 - 9 = 0 \Rightarrow 36 - 8x + 7 = 0 \Rightarrow -8x + 43 = 0 \Rightarrow x = \frac{43}{8}. \]

Подставляем это значение во второе уравнение для нахождения y: \[ \left(\frac{43}{8}\right)^2 + y^2 = 36 \Rightarrow y^2 = 36 - \left(\frac{43}{8}\right)^2. \]

Шаг 4: Вычисление длины векторов

Теперь найдем координаты D. Так как AD = BC = 3, по аналогии найдём:

1. \( D(0, 3) \) из точки A.

Шаг 5: Найдем векторы и их разность

Теперь можем записать векторы:

• \( \overrightarrow{CA} = A - C \)
• \( \overrightarrow{DA} = A - D = (0,0) - (0,3) = (0,-3) \)

Следовательно, \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{DA} = (x_A - x_C, y_A - y_C) - (0, -3) \).

Длина вектора \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{DA} \) будет равна: \[ \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C + 3)^2}. \]

Шаг 6: Подсчет длины

Подставляем значения и находим длину:

• \( CA = \sqrt{(x_C)^2 + (y_C)^2} - 3 = \sqrt{36} - 3 = 6 - 3 = 3. \)

Итак, длина вектора \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{DA} \) равна \( 3 \).

Ответ

Таким образом, длина вектора \( CA - DA \) равна 3.