В параллелограмме ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3 и диагональю AC = 6 найдите длину вектора CA - DA.

Для решения задачи начнем с понимания, что нам нужно найти длину вектора \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{DA} \) в параллелограмме ABCD. ### Шаг 1: Определим векторы В параллелограмме ABCD: - \( \overrightarrow{CA} \) направлен из точки C в точку A. - \( \overrightarrow{DA} \) направлен из точки D в точку A. Параллелограмм имеет следующие свойства: - Противоположные стороны равны: \( AB = CD \) и \( BC = AD \). - Диагонали пересекаются и делят друг друга пополам. ### Шаг 2: Выразим векторы через координаты Рассмотрим координаты вершин параллелограмма: - Положим \( A(0, 0) \). - Положим \( B(4, 0) \) (поскольку \( AB = 4 \)). - Чтобы найти координаты C, учтём, что \( BC = 3 \) и диагональ \( AC = 6 \). Зададим координаты точки \( C(x, y) \). Сначала найдем точки C. Поскольку расстояние от B до C равно 3, у нас будет следующее уравнение: \[ \sqrt{(x - 4)^2 + y^2} = 3. \] После возведения в квадрат, получим: \[ (x - 4)^2 + y^2 = 9. \] Теперь используем условие для диагонали AC: \[ \sqrt{x^2 + y^2} = 6. \] Возводим в квадрат: \[ x^2 + y^2 = 36. \] ### Шаг 3: Решим систему уравнений Теперь у нас есть система уравнений: 1. \( (x - 4)^2 + y^2 = 9 \) 2. \( x^2 + y^2 = 36 \) Решим первое уравнение: \[ x^2 - 8x + 16 + y^2 = 9 \Rightarrow x^2 + y^2 - 8x + 16 - 9 = 0 \Rightarrow 36 - 8x + 7 = 0 \Rightarrow -8x + 43 = 0 \Rightarrow x = \frac{43}{8}. \] Подставляем это значение во второе уравнение для нахождения y: \[ \left(\frac{43}{8}\right)^2 + y^2 = 36 \Rightarrow y^2 = 36 - \left(\frac{43}{8}\right)^2. \] ### Шаг 4: Вычисление длины векторов Теперь найдем координаты D. Так как AD = BC = 3, по аналогии найдём: 1. \( D(0, 3) \) из точки A. ### Шаг 5: Найдем векторы и их разность Теперь можем записать векторы: - \( \overrightarrow{CA} = A - C \) - \( \overrightarrow{DA} = A - D = (0,0) - (0,3) = (0,-3) \) Следовательно, \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{DA} = (x_A - x_C, y_A - y_C) - (0, -3) \). Длина вектора \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{DA} \) будет равна: \[ \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C + 3)^2}. \] ### Шаг 6: Подсчет длины Подставляем значения и находим длину: - \( CA = \sqrt{(x_C)^2 + (y_C)^2} - 3 = \sqrt{36} - 3 = 6 - 3 = 3. \) Итак, длина вектора \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{DA} \) равна \( 3 \). ### Ответ Таким образом, длина вектора \( CA - DA \) равна **3**.