постройте график функции y= |x| • (x+1) - 3x. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки
Для начала упростим функцию \( y = |x| \cdot (x + 1) - 3x \).
Рассмотрим два случая для функции с учетом модуля:
- Когда \( x \geq 0 \): \( |x| = x \) \[ y = x \cdot (x + 1) - 3x = x^2 + x - 3x = x^2 - 2x \]
- Когда \( x < 0 \): \( |x| = -x \) \[ y = -x \cdot (x + 1) - 3x = -x^2 - x - 3x = -x^2 - 4x \]
Таким образом, функция данных выглядит как: \[ y = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \geq 0 \\ -x^2 - 4x, & \text{если } x < 0 \end{cases} \]
Теперь найдем пересечение графика функции и прямой \( y = m \).
Для \( x \geq 0 \): \[ x^2 - 2x = m \quad \Rightarrow \quad x^2 - 2x - m = 0 \] Дискриминант: \[ D_1 = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m) = 4 + 4m = 4(1 + m) \]
Для \( x < 0 \): \[ -x^2 - 4x = m \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4x + m = 0 \] Дискриминант: \[ D_2 = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 16 - 4m \]
Найдем условия для двух решений:
Для первого уравнения (при \( x \geq 0 \)): \[ D_1 > 0 \quad \Rightarrow \quad 4(1 + m) > 0 \quad \Rightarrow \quad 1 + m > 0 \quad \Rightarrow \quad m > -1 \]
Для второго уравнения (при \( x < 0 \)): \[ D_2 = 16 - 4m > 0 \quad \Rightarrow \quad 16 > 4m \quad \Rightarrow \quad 4 > m \quad \Rightarrow \quad m < 4 \]
Объединив условия, получаем: \[ -1 < m < 4 \]
Таким образом, прямая \( y = m \) будет иметь с графиком функции ровно две общие точки при \( m \) в промежутке \( (-1, 4) \).
