В данной задаче мы имеем дробные рациональные уравнения. Давайте решим их шаг за шагом.
Уравнение 1:
[
\frac{3x^2 - 7}{2x + 1} = x + 5
]
Шаг 1: Переносим все члены на одну сторону.
Умножим обе стороны на (2x + 1) (предполагая, что (2x + 1 \neq 0)):
[
3x^2 - 7 = (x + 5)(2x + 1)
]
Шаг 2: Раскрываем скобки справа.
[
3x^2 - 7 = 2x^2 + x + 10x + 5
]
[
3x^2 - 7 = 2x^2 + 11x + 5
]
Шаг 3: Приводим все члены к одной стороне уравнения.
[
3x^2 - 2x^2 - 11x - 5 - 7 = 0
]
[
x^2 - 11x - 12 = 0
]
Шаг 4: Решаем полученное квадратное уравнение.
Для решения используем формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169
]
Корни находятся по формуле:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
[
x_{1} = \frac{11 + 13}{2} = 12, \quad x_{2} = \frac{11 - 13}{2} = -1
]
Шаг 5: Находим разность наибольшего и наименьшего корней.
Наибольший корень (x_{1} = 12), наименьший корень (x_{2} = -1).
Разность:
[
12 - (-1) = 12 + 1 = 13
]
Уравнение 2:
[
\frac{9x^2}{81} = x - 3
]
Шаг 1: Упрощаем левую часть.
[
\frac{x^2}{9} = x - 3
]
Шаг 2: Умножаем обе стороны на 9 (предполагая, что 9 не равен 0).
[
x^2 = 9(x - 3)
]
Шаг 3: Раскрываем скобки.
[
x^2 = 9x - 27
]
Шаг 4: Переносим все члены на одну сторону.
[
x^2 - 9x + 27 = 0
]
Шаг 5: Находим дискриминант.
[
D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 81 - 108 = -27
]
Так как дискриминант отрицательный, у этого уравнения нет действительных корней.
Итог:
- Для первого уравнения корни: (12) и (-1), разность корней: (13).
- Для второго уравнения действительных корней нет.
Если есть дополнительные вопросы или нужно подробнее объяснить какой-то шаг, не стесняйтесь спрашивать!
