Площадь основания правильной четырёхугольной призмы равна 24 м2, а её диагональ равна 13 м. Найдите высоту призмы.

Чтобы найти высоту правильной четырёхугольной призмы, нам нужно использовать известные данные о площади основания и длине диагонали.

1. Дано:

   • Площадь основания призмы \( S = 24 \, \text{м}^2 \)
   • Диагональ основания (квадрата) \( d = 13 \, \text{м} \)

2. Формула площади основания: Поскольку основание — правильный квадрат, его площадь выражается как: \[ S = a^2 \] где \( a \) — длина стороны основания.

3. Найдём длину стороны основания: Подставим известное значение площади: \[ a^2 = 24 \] Найдём \( a \): \[ a = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \, \text{м} \]

4. Формула диагонали квадрата: Диагональ квадрата определяется формулой: \[ d = a\sqrt{2} \] Подставим найденное значение \( a \): \[ 13 = (2\sqrt{6})\sqrt{2} \] Упрощаем правую часть: \[ 13 = 2\sqrt{12} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \]

5. Находим значение \( \sqrt{3} \): Чтобы найти высоту призмы, нам понадобится проверить соотношения между высотой и диагональю. Для этого используем теорему Пифагора.

6. Определим высоту призмы: Высота \( h \) и диагональ образуют прямоугольный треугольник с половиной диагонали основания: \[ d^2 = h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 \] Обозначим длину диагонали как: \[ \frac{d}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \, \text{м} \] Подставляем выражение для \( d \): \[ 13^2 = h^2 + 6.5^2 \] Посчитаем: \[ 169 = h^2 + 42.25 \] Теперь выражаем высоту: \[ h^2 = 169 - 42.25 = 126.75 \] Найдём \( h \): \[ h = \sqrt{126.75} \approx 11.25 \, \text{м} \]

7. Ответ: Высота призмы составляет приблизительно \( 11.25 \, \text{м} \).