На материальную точку массой m=850 г действует сила 𝑭 = 𝟖𝒕𝒊 + 𝟕𝒕𝒋 (Н), где 𝒊 и 𝒋 единичные орты осей X и Y. Найдите выражение вектора скорости 𝒗 и модуль скорости 𝒗…

Для решения задачи будем использовать законы динамики и кинематики. У нас есть материальная точка, на которую действует сила, и нам нужно найти ее скорость и пройденный путь за определенное время.

1. Данные задачи:

   • Масса \( m = 850 \, \text{г} = 0.85 \, \text{кг} \) (переведем в килограммы).
   • Сила \( \vec{F} = 8t \hat{i} + 7t \hat{j} \) (Н).
   • Время \( t = 5 \, \text{с} \).
   • Начальная скорость \( \vec{v_0} = 0 \).

2. Находим ускорение: Из закона Ньютона, \( \vec{F} = m \vec{a} \): \[ \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{8t \hat{i} + 7t \hat{j}}{0.85} \] Подставим значения: \[ \vec{a} = \left(\frac{8t}{0.85}\right) \hat{i} + \left(\frac{7t}{0.85}\right) \hat{j} \]

3. Находим ускорение при \( t = 5 \, \text{с} \): \[ \vec{a} = \left(\frac{8 \cdot 5}{0.85}\right) \hat{i} + \left(\frac{7 \cdot 5}{0.85}\right) \hat{j} = \left(\frac{40}{0.85}\right) \hat{i} + \left(\frac{35}{0.85}\right) \hat{j} \] Приблизительно: \[ \vec{a} \approx 47.06 \hat{i} + 41.18 \hat{j} \, \text{м/с}^2 \]

4. Находим скорость \( \vec{v} \): Используем формулу: \( \vec{v} = \vec{v_0} + \int_0^t \vec{a}(t') dt' \) Так как начальная скорость равна нулю, то: \[ \vec{v}(t) = \int_0^t \left(\frac{8t'}{0.85} \hat{i} + \frac{7t'}{0.85} \hat{j}\right) dt' \]

   Рассчитаем интегралы: \[ \vec{v}(t) = \frac{8}{0.85} \int_0^t t' dt \, \hat{i} + \frac{7}{0.85} \int_0^t t' dt \, \hat{j} \] \[ = \frac{8}{0.85} \cdot \frac{t^2}{2} \hat{i} + \frac{7}{0.85} \cdot \frac{t^2}{2} \hat{j} \] Теперь подставим \( t = 5 \): \[ = \frac{8}{0.85} \cdot \frac{5^2}{2} \hat{i} + \frac{7}{0.85} \cdot \frac{5^2}{2} \hat{j} \] \[ = \frac{8}{0.85} \cdot \frac{25}{2} \hat{i} + \frac{7}{0.85} \cdot \frac{25}{2} \hat{j} \] \[ = \frac{200}{0.85} \hat{i} + \frac{175}{0.85} \hat{j} \] Примерно: \[ \vec{v}(5) \approx 235.29 \hat{i} + 205.88 \hat{j} \, \text{м/с} \]

5. Находим модуль скорости \( v \): \[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \] \[ v = \sqrt{(235.29)^2 + (205.88)^2} \approx \sqrt{55366.72 + 42401.67} \] \[ v \approx \sqrt{97768.39} \approx 313 \, \text{м/с} \]

6. Находим пройденный путь \( S \): Для равномерно ускоренного движения: \[ S = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \] Поскольку начальная скорость равна нулю: \[ S = \frac{1}{2} a t^2 \] Подставляем ускорение из первого этапа (усредненное) и время: \[ S = \frac{1}{2} \left(\frac{a_x + a_y}{2}\right) t^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{47.06 + 41.18}{2} \cdot 5^2 \] Продолжим расчет: \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{88.24}{2} \cdot 25 \approx 552.75 \, \text{м} \]

Теперь мы получили результаты:

• Вектор скорости в момент времени \( t = 5 \): \[ \vec{v}(5) \approx 235.29 \hat{i} + 205.88 \hat{j} \, \text{м/с} \]

• Модуль скорости \( v \approx 313 \, \text{м/с} \).

• Пройденный путь \( S \approx 552.75 \, \text{м} \).

Это и есть окончательные результаты решения данной задачи. Если что-то еще непонятно, спрашивайте!