На материальную точку массой m=850 г действует сила 𝑭 = 𝟖𝒕𝒊 + 𝟕𝒕𝒋 (Н), где 𝒊 и 𝒋 единичные орты осей X и Y. Найдите выражение вектора скорости 𝒗 и модуль скорости 𝒗 точки в момент времени 𝒕 = 𝟓 𝒄. Какой путь пройдет точка за промежуток времени 𝝉 = 𝟓 𝒄 от начала движения? Начальная скорость была равна нулю.

Для решения задачи будем использовать законы динамики и кинематики. У нас есть материальная точка, на которую действует сила, и нам нужно найти ее скорость и пройденный путь за определенное время. 1. **Данные задачи:** - Масса \( m = 850 \, \text{г} = 0.85 \, \text{кг} \) (переведем в килограммы). - Сила \( \vec{F} = 8t \hat{i} + 7t \hat{j} \) (Н). - Время \( t = 5 \, \text{с} \). - Начальная скорость \( \vec{v_0} = 0 \). 2. **Находим ускорение:** Из закона Ньютона, \( \vec{F} = m \vec{a} \): \[ \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{8t \hat{i} + 7t \hat{j}}{0.85} \] Подставим значения: \[ \vec{a} = \left(\frac{8t}{0.85}\right) \hat{i} + \left(\frac{7t}{0.85}\right) \hat{j} \] 3. **Находим ускорение при \( t = 5 \, \text{с} \):** \[ \vec{a} = \left(\frac{8 \cdot 5}{0.85}\right) \hat{i} + \left(\frac{7 \cdot 5}{0.85}\right) \hat{j} = \left(\frac{40}{0.85}\right) \hat{i} + \left(\frac{35}{0.85}\right) \hat{j} \] Приблизительно: \[ \vec{a} \approx 47.06 \hat{i} + 41.18 \hat{j} \, \text{м/с}^2 \] 4. **Находим скорость \( \vec{v} \):** Используем формулу: \( \vec{v} = \vec{v_0} + \int_0^t \vec{a}(t') dt' \) Так как начальная скорость равна нулю, то: \[ \vec{v}(t) = \int_0^t \left(\frac{8t'}{0.85} \hat{i} + \frac{7t'}{0.85} \hat{j}\right) dt' \] Рассчитаем интегралы: \[ \vec{v}(t) = \frac{8}{0.85} \int_0^t t' dt \, \hat{i} + \frac{7}{0.85} \int_0^t t' dt \, \hat{j} \] \[ = \frac{8}{0.85} \cdot \frac{t^2}{2} \hat{i} + \frac{7}{0.85} \cdot \frac{t^2}{2} \hat{j} \] Теперь подставим \( t = 5 \): \[ = \frac{8}{0.85} \cdot \frac{5^2}{2} \hat{i} + \frac{7}{0.85} \cdot \frac{5^2}{2} \hat{j} \] \[ = \frac{8}{0.85} \cdot \frac{25}{2} \hat{i} + \frac{7}{0.85} \cdot \frac{25}{2} \hat{j} \] \[ = \frac{200}{0.85} \hat{i} + \frac{175}{0.85} \hat{j} \] Примерно: \[ \vec{v}(5) \approx 235.29 \hat{i} + 205.88 \hat{j} \, \text{м/с} \] 5. **Находим модуль скорости \( v \):** \[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \] \[ v = \sqrt{(235.29)^2 + (205.88)^2} \approx \sqrt{55366.72 + 42401.67} \] \[ v \approx \sqrt{97768.39} \approx 313 \, \text{м/с} \] 6. **Находим пройденный путь \( S \):** Для равномерно ускоренного движения: \[ S = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \] Поскольку начальная скорость равна нулю: \[ S = \frac{1}{2} a t^2 \] Подставляем ускорение из первого этапа (усредненное) и время: \[ S = \frac{1}{2} \left(\frac{a_x + a_y}{2}\right) t^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{47.06 + 41.18}{2} \cdot 5^2 \] Продолжим расчет: \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{88.24}{2} \cdot 25 \approx 552.75 \, \text{м} \] Теперь мы получили результаты: - **Вектор скорости** в момент времени \( t = 5 \): \[ \vec{v}(5) \approx 235.29 \hat{i} + 205.88 \hat{j} \, \text{м/с} \] - **Модуль скорости** \( v \approx 313 \, \text{м/с} \). - **Пройденный путь** \( S \approx 552.75 \, \text{м} \). Это и есть окончательные результаты решения данной задачи. Если что-то еще непонятно, спрашивайте!