Давайте поочередно разберем каждую из задач. Я предоставлю подробные объяснения, чтобы вы могли понять, как решать подобные задачи.
Задача 1: Найти первообразную для функции F(x) = 4sin x - x
Решение:
Первообразная функции – это такая функция, производная которой будет равна данной функции.
Итак, найдем первообразную функции F(x) = 4sin x - x.
Первообразная 4sin x:
- Производная функции -4cos x.
- Соответственно, первообразная будет 4(-cos x) = 4cos x.
Первообразная -x:
- Данная функция имеет первообразную -x^2 / 2 + C (где C - произвольная константа).
Теперь мы можем объединить результаты:
[
F(x) = 4cos x - \frac{x^2}{2} + C
]
Таким образом, одна из правильных функций, которая является первообразной F(x) = 4sin x - x, это:
[
b) f(x) = 4cos x - \frac{x^2}{2} + C
]
Задача 2: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0 и y = 5x - x²
Решение:
Найдите точки пересечения кривой y = 5x - x² и оси x (y = 0):
Решим уравнение:
[
5x - x^2 = 0
]
Факторизуем:
[
x(5 - x) = 0 \implies x = 0, \quad x = 5
]
Вычислите площадь под кривой:
Площадь можно вычислить через интеграл:
[
S = \int_{0}^{5} (5x - x^2) , dx
]
Сначала найдем интеграл:
[
\int (5x - x^2) , dx = \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C
]
Теперь подставим пределы интегрирования:
[
S = \left[ \frac{5(5)^2}{2} - \frac{(5)^3}{3} \right] - \left[ \frac{5(0)^2}{2} - \frac{(0)^3}{3} \right]
]
[
= \left[ \frac{125}{2} - \frac{125}{3} \right]
]
Приведем к общему знаменателю (6):
[
= \frac{375}{6} - \frac{250}{6} = \frac{125}{6}
]
Итак, площадь фигуры составляет:
[
\frac{125}{6}
]
Задача 3: Вычислите ∫14 sin x dx
Решение:
Чтобы вычислить этот интеграл, используем стандартную формулу интегрирования.
Переносим постоянный множитель за знак интеграла:
[
\int 14 \sin x , dx = 14 \int \sin x , dx
]
Находим первообразную для sin x:
[
\int \sin x , dx = -\cos x + C
]
Объединяем результаты:
[
14 \cdot (-\cos x) + C = -14 \cos x + C
]
Итак, результат:
[
-14 \cos x + C
]
Задача 4: График первообразной f(x) = 6x² - 7x + 5 проходит через точку A(1; 2). Найдите первообразную.
Решение:
Находим первообразную функции:
[
F(x) = \int (6x^2 - 7x + 5) , dx = 2x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 5x + C
]
Используем точку A(1; 2) для нахождения C:
Подставим x = 1 и F(1) = 2:
[
2 = 2(1)^3 - \frac{7}{2}(1)^2 + 5(1) + C
]
[
2 = 2 - \frac{7}{2} + 5 + C
]
[
2 = 2 - 3.5 + 5 + C \implies 2 = 3.5 + C \implies C = 2 - 3.5 = -1.5
]
Таким образом:
[
F(x) = 2x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 5x - 1.5
]
Задача 5: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 - x² и y = 3
Решение:
Найдите точки пересечения:
Решим уравнение:
[
4 - x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = -1 \text{ и } x = 1
]
Вычислите площадь между функциями:
Площадь определяется следующее интегралом:
[
S = \int_{-1}^{1} ((4 - x^2) - 3) , dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) , dx
]
Вычислим интеграл:
[
S = \int (1 - x^2) , dx = x - \frac{x^3}{3} + C
]
Подставим пределы интегрирования:
[
S = \left[ 1 - \frac{(1)^3}{3} \right] - \left[ -1 - \frac{(-1)^3}{3} \right]
]
Вычисляем:
[
S = \left[ 1 - \frac{1}{3} \right] - \left[ -1 + \frac{1}{3} \right]
]
[
= \left[ \frac{2}{3} \right] - \left[ -\frac{2}{3} \right] = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}
]
Итак, площадь фигуры составляет:
[
\frac{4}{3}
]
Это решение каждой из задач. Если у вас остались вопросы или необходимо что-то уточнить, дайте знать!
