1. Укажите функцию, для которой F (x) = 4sin x - х является первообразной: a. 4cosx - 1; r) f(x) = 4cosx- x2/2 a) f(x) = 4sinx - 1; б) f(x) = 4sinx - x2/2; b) f(x) = 2. Вычислите…

Давайте поочередно разберем каждую из задач. Я предоставлю подробные объяснения, чтобы вы могли понять, как решать подобные задачи.

Задача 1: Найти первообразную для функции F(x) = 4sin x - x

Решение:

Первообразная функции – это такая функция, производная которой будет равна данной функции.

Итак, найдем первообразную функции F(x) = 4sin x - x.

1. Первообразная 4sin x:

   • Производная функции -4cos x.
   • Соответственно, первообразная будет 4(-cos x) = 4cos x.

2. Первообразная -x:

   • Данная функция имеет первообразную -x^2 / 2 + C (где C - произвольная константа).

Теперь мы можем объединить результаты: \[ F(x) = 4cos x - \frac{x^2}{2} + C \]

Таким образом, одна из правильных функций, которая является первообразной F(x) = 4sin x - x, это: \[ b) f(x) = 4cos x - \frac{x^2}{2} + C \]

Задача 2: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0 и y = 5x - x²

Решение:

1. Найдите точки пересечения кривой y = 5x - x² и оси x (y = 0): Решим уравнение: \[ 5x - x^2 = 0 \] Факторизуем: \[ x(5 - x) = 0 \implies x = 0, \quad x = 5 \]

2. Вычислите площадь под кривой: Площадь можно вычислить через интеграл: \[ S = \int_{0}^{5} (5x - x^2) \, dx \]

   Сначала найдем интеграл: \[ \int (5x - x^2) \, dx = \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C \]

   Теперь подставим пределы интегрирования: \[ S = \left[ \frac{5(5)^2}{2} - \frac{(5)^3}{3} \right] - \left[ \frac{5(0)^2}{2} - \frac{(0)^3}{3} \right] \] \[ = \left[ \frac{125}{2} - \frac{125}{3} \right] \] Приведем к общему знаменателю (6): \[ = \frac{375}{6} - \frac{250}{6} = \frac{125}{6} \]

Итак, площадь фигуры составляет: \[ \frac{125}{6} \]

Задача 3: Вычислите ∫14 sin x dx

Решение:

Чтобы вычислить этот интеграл, используем стандартную формулу интегрирования.

1. Переносим постоянный множитель за знак интеграла: \[ \int 14 \sin x \, dx = 14 \int \sin x \, dx \]

2. Находим первообразную для sin x: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]

3. Объединяем результаты: \[ 14 \cdot (-\cos x) + C = -14 \cos x + C \]

Итак, результат: \[ -14 \cos x + C \]

Задача 4: График первообразной f(x) = 6x² - 7x + 5 проходит через точку A(1; 2). Найдите первообразную.

Решение:

1. Находим первообразную функции: \[ F(x) = \int (6x^2 - 7x + 5) \, dx = 2x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 5x + C \]

2. Используем точку A(1; 2) для нахождения C: Подставим x = 1 и F(1) = 2: \[ 2 = 2(1)^3 - \frac{7}{2}(1)^2 + 5(1) + C \] \[ 2 = 2 - \frac{7}{2} + 5 + C \] \[ 2 = 2 - 3.5 + 5 + C \implies 2 = 3.5 + C \implies C = 2 - 3.5 = -1.5 \]

Таким образом: \[ F(x) = 2x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 5x - 1.5 \]

Задача 5: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 - x² и y = 3

Решение:

1. Найдите точки пересечения: Решим уравнение: \[ 4 - x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = -1 \text{ и } x = 1 \]

2. Вычислите площадь между функциями: Площадь определяется следующее интегралом: \[ S = \int_{-1}^{1} ((4 - x^2) - 3) \, dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx \]

3. Вычислим интеграл: \[ S = \int (1 - x^2) \, dx = x - \frac{x^3}{3} + C \]

   Подставим пределы интегрирования: \[ S = \left[ 1 - \frac{(1)^3}{3} \right] - \left[ -1 - \frac{(-1)^3}{3} \right] \]

   Вычисляем: \[ S = \left[ 1 - \frac{1}{3} \right] - \left[ -1 + \frac{1}{3} \right] \] \[ = \left[ \frac{2}{3} \right] - \left[ -\frac{2}{3} \right] = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]

Итак, площадь фигуры составляет: \[ \frac{4}{3} \]

Это решение каждой из задач. Если у вас остались вопросы или необходимо что-то уточнить, дайте знать!