Решение задачи периметр прямоугольника равен 48 см,его гипотенуза равна 20 см Найдите катеты данного прямоугольного треугольника

Для того чтобы решить задачу, сначала давайте разберемся с заданными условиями. 1. **Понимание условия задачи**: - У нас есть прямоугольный треугольник, у которого периметр \( P = 48 \, \text{см} \) и гипотенуза \( c = 20 \, \text{см} \). - Необходимо найти катеты данного прямоугольного треугольника, которые обозначим как \( a \) и \( b \). 2. **Формулы**: - Периметр прямоугольного треугольника определяется как сумма всех его сторон: \[ P = a + b + c \] - В нашем случае: \[ 48 = a + b + 20 \] 3. **Решение уравнения для катетов**: - Перепишем уравнение для катетов: \[ a + b = 48 - 20 = 28 \] - Теперь у нас есть одно уравнение: \[ a + b = 28 \quad \text{(1)} \] 4. **Использование теоремы Пифагора**: - Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника гласит, что: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] - Подставим значение гипотенузы: \[ a^2 + b^2 = 20^2 = 400 \quad \text{(2)} \] 5. **Система уравнений**: - Теперь у нас есть два уравнения (1) и (2): \[ a + b = 28 \] \[ a^2 + b^2 = 400 \] 6. **Подстановка**: - Из уравнения (1) можно выразить \( b \) через \( a \): \[ b = 28 - a \] - Подставим это значение в уравнение (2): \[ a^2 + (28 - a)^2 = 400 \] 7. **Раскрытие скобок**: - Раскроем скобки в уравнении: \[ a^2 + (28^2 - 56a + a^2) = 400 \] \[ 2a^2 - 56a + 784 = 400 \] 8. **Упрощение уравнения**: - Переносим 400 влево: \[ 2a^2 - 56a + 384 = 0 \] - Делим все уравнение на 2: \[ a^2 - 28a + 192 = 0 \] 9. **Решение квадратного уравнения**: - Применим формулу для решения квадратных уравнений: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{28 \pm \sqrt{(-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 768}}{2} \] \[ = \frac{28 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ = \frac{28 \pm 4}{2} \] 10. **Находим значения \( a \)**: - Два возможных значения: - \( a = \frac{32}{2} = 16 \) - \( a = \frac{24}{2} = 12 \) 11. **Находим значения \( b \)**: - Если \( a = 16 \), то: \[ b = 28 - 16 = 12 \] - Если \( a = 12 \), то: \[ b = 28 - 12 = 16 \] Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны \( 12 \, \text{см} \) и \( 16 \, \text{см} \).