Чтобы найти угол между прямыми \( BD \) и \( A_1C_1 \) в кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), следуйте этим шагам:
1. **Определение точек и осей:**
- Куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) имеет ребра, параллельные осям координат. Пусть \( A \) имеет координаты \( (0, 0, 0) \), \( B \) — \( (a, 0, 0) \), \( D \) — \( (0, a, 0) \), и \( A_1 \) — \( (0, 0, a) \).
2. **Определение координат точек \( BD \) и \( A_1C_1 \):**
- Точка \( C \) будет \( (a, a, 0) \), и соответственно, \( C_1 \) будет \( (a, a, a) \).
- Точка \( B_1 \) будет \( (a, 0, a) \).
3. **Векторы \( \overrightarrow{BD} \) и \( \overrightarrow{A_1C_1} \):**
- Вектор \( \overrightarrow{BD} = (a - 0, 0 - a, 0 - 0) = (a, -a, 0) \).
- Вектор \( \overrightarrow{A_1C_1} = (a - 0, a - 0, a - a) = (a, a, 0) \).
4. **Скалярное произведение векторов:**
- Скалярное произведение \( \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{A_1C_1} = a \cdot a + (-a) \cdot a + 0 \cdot 0 = a^2 - a^2 + 0 = 0 \).
5. **Длина векторов:**
- Длина \( \overrightarrow{BD} = \sqrt{a^2 + (-a)^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \).
- Длина \( \overrightarrow{A_1C_1} = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \).
6. **Угол между векторами:**
Угол \(\theta\) между двумя векторами определяется формулой:
\[
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{A_1C_1}}{|\overrightarrow{BD}| \cdot |\overrightarrow{A_1C_1}|}
\]
Подставляем значения:
\[
\cos \theta = \frac{0}{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}} = 0
\]
Следовательно, \(\theta = \cos^{-1}(0) = 90^\circ\).
**Ответ:** Угол между прямыми \( BD \) и \( A_1C_1 \) — \( 90^\circ \).
