2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого
Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать теорему Пифагора и немного алгебры.
Шаг 1: Обозначим катеты
Пусть \( x \) — длина одного катета. Тогда второй катет, который на 7 см больше, будет равен \( x + 7 \).
Шаг 2: Используем теорему Пифагора
Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае гипотенуза равна 13 см. Запишем это уравнение:
\[ x^2 + (x + 7)^2 = 13^2 \]
Шаг 3: Раскроем скобки и упростим уравнение
Сначала найдём квадрат гипотенузы: \[ 13^2 = 169 \]
Теперь раскроем скобки: \[ x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 169 \]
Объединим подобные члены: \[ 2x^2 + 14x + 49 = 169 \]
Теперь перенесём все члены в одну сторону уравнения: \[ 2x^2 + 14x + 49 - 169 = 0 \] \[ 2x^2 + 14x - 120 = 0 \]
Шаг 4: Упростим уравнение
Делим все члены уравнения на 2: \[ x^2 + 7x - 60 = 0 \]
Шаг 5: Найдем корни уравнения с помощью формулы
Теперь можем использовать квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \) для нахождения корней:
\[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = 7 \), \( c = -60 \): \[ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289 \]
Теперь находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 17}{2} \]
Считаем два случая:
- \( x = \frac{10}{2} = 5 \)
- \( x = \frac{-24}{2} = -12 \) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)
Шаг 6: Находим второй катет
Таким образом, один катет \( x = 5 \) см, а второй: \[ x + 7 = 5 + 7 = 12 \text{ см} \]
Результат
Итак, катеты нашего прямоугольного треугольника равны:
- Один катет: 5 см
- Второй катет: 12 см
Теперь у вас есть решение с подробным объяснением! Если есть какие-то вопросы или дополнительные задачи, спрашивайте!
