Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать теорему Пифагора и немного алгебры.
Шаг 1: Обозначим катеты
Пусть ( x ) — длина одного катета. Тогда второй катет, который на 7 см больше, будет равен ( x + 7 ).
Шаг 2: Используем теорему Пифагора
Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае гипотенуза равна 13 см. Запишем это уравнение:
[
x^2 + (x + 7)^2 = 13^2
]
Шаг 3: Раскроем скобки и упростим уравнение
Сначала найдём квадрат гипотенузы:
[
13^2 = 169
]
Теперь раскроем скобки:
[
x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 169
]
Объединим подобные члены:
[
2x^2 + 14x + 49 = 169
]
Теперь перенесём все члены в одну сторону уравнения:
[
2x^2 + 14x + 49 - 169 = 0
]
[
2x^2 + 14x - 120 = 0
]
Шаг 4: Упростим уравнение
Делим все члены уравнения на 2:
[
x^2 + 7x - 60 = 0
]
Шаг 5: Найдем корни уравнения с помощью формулы
Теперь можем использовать квадратное уравнение ( ax^2 + bx + c = 0 ) для нахождения корней:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = 7 ), ( c = -60 ):
[
D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289
]
Теперь находим корни:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 17}{2}
]
Считаем два случая:
- ( x = \frac{10}{2} = 5 )
- ( x = \frac{-24}{2} = -12 ) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)
Шаг 6: Находим второй катет
Таким образом, один катет ( x = 5 ) см, а второй:
[
x + 7 = 5 + 7 = 12 \text{ см}
]
Результат
Итак, катеты нашего прямоугольного треугольника равны:
- Один катет: 5 см
- Второй катет: 12 см
Теперь у вас есть решение с подробным объяснением! Если есть какие-то вопросы или дополнительные задачи, спрашивайте!
