Периметр прямоугольника равен 182 м, а его площадь 1830 м2. Найдите длины сторон прямоугольника

Для решения задачи о нахождении сторон прямоугольника, когда известны его периметр и площадь, начнем с формул, которые связывают эти характеристики.

1. Формулы:

   • Периметр прямоугольника: \( P = 2(a + b) \), где \( a \) и \( b \) — длины сторон прямоугольника.
   • Площадь прямоугольника: \( S = a \cdot b \).

2. Дано:

   • Периметр \( P = 182 \) м
   • Площадь \( S = 1830 \) м²

3. Составим уравнения: Из формулы для периметра можно выразить одну сторону через другую: \[ a + b = \frac{P}{2} = \frac{182}{2} = 91 \] Следовательно: \[ b = 91 - a \]

   Теперь подставим \( b \) в формулу площади: \[ S = a \cdot b = a \cdot (91 - a) \] Подставляя значение площади: \[ a \cdot (91 - a) = 1830 \] Раскроем скобки: \[ 91a - a^2 = 1830 \] Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ a^2 - 91a + 1830 = 0 \]

4. Решим квадратное уравнение: Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( A = 1, B = -91, C = 1830 \). Подставим значения: \[ D = B^2 - 4AC = (-91)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1830 = 8281 - 7320 = 561 \] Корень дискриминанта: \[ \sqrt{561} \approx 23.7 \] Теперь подставим в формулу: \[ a = \frac{91 \pm 23.7}{2} \] Вычислим два возможных значения для \( a \): \[ a_1 = \frac{91 + 23.7}{2} \approx \frac{114.7}{2} \approx 57.35 \] \[ a_2 = \frac{91 - 23.7}{2} \approx \frac{67.3}{2} \approx 33.65 \]

5. Найдём соответствующие значения \( b \): Для \( a_1 \approx 57.35 \): \[ b_1 = 91 - 57.35 \approx 33.65 \] Для \( a_2 \approx 33.65 \): \[ b_2 = 91 - 33.65 \approx 57.35 \]

6. Вывод: Таким образом, стороны прямоугольника: \[ a \approx 57.35 \, \text{м}, \quad b \approx 33.65 \, \text{м}. \] Либо \[ a \approx 33.65 \, \text{м}, \quad b \approx 57.35 \, \text{м}. \] Важно отметить, что оба значения являются длинами сторон прямоугольника, так как порядок сторон не имеет значения.