Давай рассмотрим седьмую задачку на этом фото.
Здесь у нас есть треугольник ABC с прямым углом при вершине C и окружность с центром в точке E, которая касается гипотенузы AB в точке D. Нам известно, что отрезок AB равен 25, а радиус окружности равен 12 (как на рисунке). Нужно найти длину отрезка AE.
Решение проблемы заключается в том, чтобы понять, что треугольник AED подобен треугольнику ACB. Это потому что угол AED является прямым (окружность касается прямой AB, следовательно угол AED прямой), у них общий угол A и, следовательно, оставшийся угол у треугольника AED будет таким же, как и у треугольника ACB (так как в сумме углы треугольника составляют 180 градусов).
Так как треугольники подобны, то отношение радиуса окружности (которое является и высотой для треугольника ACB, так как он касается гипотенузы в точке D) к прилежащему катету AD равно отношению прилежащего катета AC к гипотенузе AB. То есть:
ED/AD = AC/AB
Но у нас ED равен радиусу окружности, то есть 12, а AB - это известная нам длина гипотенузы, равная 25. Осталось только выразить AD как AB - BD, где BD тоже будет равен 12, так как радиус окружности одинаков по всем направлениям от центра до точки касания. Получается:
12/(25-12) = AC/25
Преобразуем нашу дробь:
12/13 = AC/25
Чтобы найти AC, умножим обе части равенства на 25:
(12/13)*25 = AC
AC = 12*25/13 ≈ 23.08 (если округлить до двух знаков после запятой)
Теперь, когда у нас есть AC, чтобы найти AE, нам нужно просто вычесть из AB длину катета BC, который равен AC в силу подобия треугольников AED и ACB (у них углы при вершине A одинаковы). Получаем:
AE = AB - AC = 25 - AC ≈ 25 - 23.08 = 1.92
Таким образом, длина отрезка AE приблизительно равна 1.92 (если округлять до двух знаков после запятой).
