Давайте разберем каждую задачу по отдельности, чтобы понять принципы вычисления вероятности.
Задача 1
Монета. 6 бросков. Найти вероятность, что орел выпадет ровно 2 раза.
Решение:
Для решения этой задачи используем формулу биномиального распределения.
Формула вероятности получения ровно (k) успехов (орел) в (n) испытаниях (бросках монеты):
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}
]
где:
- (n = 6) (количество бросков),
- (k = 2) (количество орлов),
- (p = 0.5) (вероятность получить орла в одном броске),
- (\binom{n}{k}) — число сочетаний из (n) по (k).
Сначала вычисляем (\binom{6}{2}):
[
\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15
]
Подставляем значения в формулу:
[
P(X = 2) = 15 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{6 - 2} = 15 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^4 = 15 \cdot (0.5)^6 = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64} \approx 0.2344
]
Ответ: Вероятность, что орел выпадет ровно 2 раза, составляет (\frac{15}{64}) или около 23.44%.
Задача 2
Кубик. Один бросок. Найти вероятность, что выпадет не менее 5 очков.
Решение:
Возможные исходы при броске кубика: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Исходы, соответствующие условию "не менее 5 очков": 5 и 6 (2 исхода).
Общее количество исходов — 6.
Вероятность:
[
P(X \geq 5) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.3333
]
Ответ: Вероятность, что выпадет не менее 5 очков, составляет (\frac{1}{3}) или около 33.33%.
Задача 3
Кубик. Два броска. Найти вероятность, что в сумме выпадет 7 очков.
Решение:
Рассмотрим все возможные комбинации двух бросков кубика.
Чтобы получить сумму 7, возможные пары (в порядке бросков):
- (1, 6)
- (2, 5)
- (3, 4)
- (4, 3)
- (5, 2)
- (6, 1)
Всего существует 6 благоприятных исходов.
Общее количество возможных исходов при двух бросках:
- 6 (исходов первого броска) × 6 (исходов второго броска) = 36.
Вероятность:
[
P(\text{сумма} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.1667
]
Ответ: Вероятность, что в сумме выпадет 7 очков, составляет (\frac{1}{6}) или около 16.67%.
Задача 4
Кубик. Три броска. Найти вероятность, что два раза выпадет число 6.
Решение:
Здесь мы также используем биномиальное распределение.
У нас (n = 3) (три броска), (k = 2) (два шеста), (p = \frac{1}{6}) (вероятность получить шестёрку).
Сначала находим (\binom{3}{2}):
[
\binom{3}{2} = 3
]
Подставляем данные в формулу:
[
P(X = 2) = 3 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^2 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{3-2} = 3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{5}{6} = 3 \cdot \frac{5}{216} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72} \approx 0.0694
]
Ответ: Вероятность, что два раза выпадет число 6, составляет (\frac{5}{72}) или около 6.94%.
Задача 5
На экзамене 6 вопросов по Алгебре, 7 по Геометрии, 7 по вероятности и статистике. Найти вероятность, что достанется вопрос по Алгебре.
Решение:
Общее количество вопросов:
[
6 + 7 + 7 = 20
]
Вероятность, что вопрос будет по Алгебре:
[
P(\text{Алгебра}) = \frac{\text{Количество вопросов по Алгебре}}{\text{Общее количество вопросов}} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0.3
]
Ответ: Вероятность, что достанется вопрос по Алгебре, составляет (\frac{3}{10}) или 30%.
