(4x)/(x ^ 2 + x + 3) + (7x)/(x ^ 2 + 3x + 3) = 9/5
Чтобы решить уравнение
\[ \frac{4x}{x^2 + x + 3} + \frac{7x}{x^2 + 3x + 3} = \frac{9}{5}, \]
давайте шаг за шагом разберем его.
Шаг 1: Найдем общий знаменатель
Первым делом нужно найти общий знаменатель для дробей слева. У нас есть два знаменателя:
- \(x^2 + x + 3\)
- \(x^2 + 3x + 3\)
Можно использовать произведение двух знаменателей в качестве общего знаменателя:
\[ \text{Общий знаменатель} = (x^2 + x + 3)(x^2 + 3x + 3). \]
Шаг 2: Умножим обе стороны на общий знаменатель
Умножаем уравнение на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
\[ 4x(x^2 + 3x + 3) + 7x(x^2 + x + 3) = \frac{9}{5}(x^2 + x + 3)(x^2 + 3x + 3). \]
Шаг 3: Раскроем скобки
Теперь раскроем скобки:
- Левую часть: \[ 4x(x^2 + 3x + 3) = 4x^3 + 12x^2 + 12x, \] \[ 7x(x^2 + x + 3) = 7x^3 + 7x^2 + 21x. \] Объединим эти выражения: \[ 4x^3 + 12x^2 + 12x + 7x^3 + 7x^2 + 21x = (4x^3 + 7x^3) + (12x^2 + 7x^2) + (12x + 21x) = 11x^3 + 19x^2 + 33x. \]
Теперь у нас есть: \[ 11x^3 + 19x^2 + 33x = \frac{9}{5}(x^2 + x + 3)(x^2 + 3x + 3). \]
- Правая часть: Сначала найдем \( (x^2 + x + 3)(x^2 + 3x + 3) \). Это будет: \[ x^2(x^2 + 3x + 3) + x(x^2 + 3x + 3) + 3(x^2 + 3x + 3). \] Упрощая это, мы получаем: \[ x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x^3 + 3x^2 + 3x + 3x^2 + 9x + 9 = x^4 + 4x^3 + 9x^2 + 12x + 9. \] Теперь умножим на \(\frac{9}{5}\): \[ \frac{9}{5}(x^4 + 4x^3 + 9x^2 + 12x + 9) = \frac{9}{5}x^4 + \frac{36}{5}x^3 + \frac{81}{5}x^2 + \frac{108}{5}x + \frac{81}{5}. \]
Шаг 4: Упрощаем уравнение
Теперь у нас есть:
\[ 11x^3 + 19x^2 + 33x = \frac{9}{5}x^4 + \frac{36}{5}x^3 + \frac{81}{5}x^2 + \frac{108}{5}x + \frac{81}{5}. \]
Умножим всё на 5, чтобы избавиться от дробей:
\[ 55x^3 + 95x^2 + 165x = 9x^4 + 36x^3 + 81x^2 + 108x + 81. \]
Шаг 5: Приведем уравнение к стандартному виду
Теперь перенесем все значения влево:
\[ 0 = 9x^4 + (36x^3 - 55x^3) + (81x^2 - 95x^2) + (108x - 165x) + 81. \]
Это дает нам:
\[ 0 = 9x^4 - 19x^3 - 14x^2 - 57x + 81. \]
Шаг 6: Решаем уравнение
Теперь у нас есть многочлен 4-й степени, который можно решить различными методами: использованием теоремы Виета, деления многочлена или численного метода.
Рекомендуется сначала проверить возможные рациональные корни, такие как \(x = 1\), \(2\), и \(3\), или воспользоваться графическим методом для нахождения корней.
Примечание:
Из-за сложности третичного полинома, я рекомендую использовать калькулятор для нахождения корней или попытаться упростить многочлен через деление, если у вас есть факторы.
Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите разобраться в каком-то конкретном шаге подробнее, пожалуйста, дайте знать!
