Для решения задачи о математическом маятнике, мы будем использовать закон сохранения механической энергии.
- Начальная потенциальная энергия маятника в верхней точке (когда он поднимается на высоту) равна потенциальной энергии, когда он находится в нижней точке:
[
E_p = mgh,
]
где:
- ( m ) — масса маятника (она не важна для расчётов, поскольку отменится),
- ( g = 10 , \text{м/с}^2 ) — ускорение свободного падения,
- ( h ) — высота поднятия.
- Для вычисления высоты ( h ), которую маятник поднимается, используем треугольник, образованный нитью маятника и вертикалью.
Так как амплитуда колебаний равна 50 см (0,5 м), то можно найти ( h ):
[
h = L - L \cos(\theta),
]
где ( L = 0,5 , \text{м} ) — длина нити и ( \theta ) — угол отклонения. Используя малые углы, можно приблизительно взять высоту как:
[
h \approx \frac{A^2}{2L},
]
где ( A = 0,5 , \text{м} ) — максимальная амплитуда (качание). Подставим значения:
[
h \approx \frac{(0,5)^2}{2 \cdot 0,5} = \frac{0,25}{1} = 0,25 , \text{м}.
]
- Считаем начальную потенциальную энергию, которая превращается в кинетическую в нижней точке:
[
E_p = mgh = m \cdot 10 \cdot 0,25 = 2.5m.
]
- В нижней точке потенциальная энергия минимальна, а вся энергия преобразуется в кинетическую:
[
E_k = \frac{mv^2}{2}.
]
Приравниваем потенциальную энергию к кинетической:
[
2.5m = \frac{mv^2}{2}.
]
- Упрощаем уравнение, делим на ( m ) (предполагая, что ( m \neq 0 )):
[
2.5 = \frac{v^2}{2}.
]
- Умножим обе стороны на 2:
[
5 = v^2.
]
- Извлекаем корень:
[
v = \sqrt{5} \approx 2.24 , \text{м/с}.
]
Таким образом, скорость маятника в нижней точке траектории составит примерно ( 2.24 , \text{м/с} ).
