Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 83. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 83 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 9 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 73. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Для решения этой задачи давайте разберем правила игры, чтобы понять, как Петя может проиграть на первом ходе, а Ваня сможет выиграть сразу же после этого. Известно, что: - Начальные значения: в первой куче 9 камней, во второй S камней (где \(1 \leq S \leq 73\)). - Игроки могут добавить один камень или удвоить количество камней в одной из куч. - Игра заканчивается, когда общее количество камней в кучах достигает 83 или больше. Обозначим: - \(A\) — количество камней в первой куче (в начале 9), - \(B\) — количество камней во второй куче (в начале S). Общее количество камней: \[ N = A + B = 9 + S \] ### Пошаговый разбор 1. **Оценка начальной позиции**: В начале игры у нас 9 + S камней. Ваня выигрывает, когда общее количество камней становится ≥ 83. Значит: \[ 9 + S < 83 \implies S < 74 \] Это условие выполняется, так как S может быть от 1 до 73. 2. **Завершение игры**: Ваня должен сделать ход, когда после хода Пети общее количество камней будет от 80 до 82. Тогда, если Ваня выполнит правильный ход, он сможет достичь 83 камней на своём ходе. 3. **Петя делает неудачный ход**: Рассмотрим возможные варианты ходов Пети: - Петя может добавить 1 камень в одну из куч. - Петя может удвоить количество камней в одной из куч. Мы должны найти такой \(S\), чтобы любой ход Пети оставлял Ване возможность выиграть. ### Анализ вариантов для некоторых значений S Исследуем некоторые значения для \(S\): - Если \(S = 73\): - Начальная сумма: \(9 + 73 = 82\). - Петя: можно добавить 1 камень в любую кучу \( \Rightarrow 83 \) (Петя выигрывает). - Если \(S = 72\): - Начальная сумма: \(9 + 72 = 81\). - Если Петя добавляет 1 в кучу с 72: \(9 + 73 = 82\) (Ситуация такая же, Ваня может победить). - Если Петя удваивает 9: \(18 + 72 = 90\) (Петя выигрывает). - Если \(S = 71\): - Начальная сумма: \(9 + 71 = 80\). - Если Петя добавляет 1 в 71: \(9 + 72 = 81\) (Петя выигрывает в следующем ходе Вани). - Если Петя удваивает 9: \(18 + 71 = 89\) (Петя выигрывает). - Если \(S = 70\): - Начальная сумма: \(9 + 70 = 79\). - Петя добавляет 1 в 70: \(80\) (Ваня выигрывает, добавляя любой камень). Теперь мы видим, что при \(S = 70\) после неудачного хода Пети (добавления 1 в кучу 70), Ваня может просто добавить 1 в любую из куч и выиграть. Чем меньше значений \(S\) выше 70, тем больше возможных выигрышных комбинаций создается Ваней. ### Вывод Таким образом, минимальное значение S, когда Ваня выглядел как победитель после первого хода Пети, составляет **70**.