задание 1. решите систему уравнений 4х+6у=-28 и 2х+4у=-20, если первое уравнение разделить на 4 задание 2. решите систему уравнений х²-3ху-2у²=2 и х+2у=1 задание 3. решите систему…

Давайте подробно разберем каждую из предложенных задач.

Задача 1:

Решить систему уравнений:

1. \( 4x + 6y = -28 \)
2. \( 2x + 4y = -20 \)

Сначала упростим первое уравнение, разделив его на 4:

\[ \frac{4x + 6y}{4} = \frac{-28}{4} \implies x + \frac{3}{2}y = -7 \]

Теперь система уравнений выглядит следующим образом:

1. \( x + \frac{3}{2}y = -7 \) (упрощенное первое уравнение)
2. \( 2x + 4y = -20 \)

Теперь можно выразить \( x \) из первого уравнения:

\[ x = -7 - \frac{3}{2}y \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ 2(-7 - \frac{3}{2}y) + 4y = -20 \]

Упростим это уравнение:

\[ -14 - 3y + 4y = -20 \] \[ -14 + y = -20 \] \[ y = -20 + 14 \implies y = -6 \]

Теперь подставим значение \( y \) обратно в первое уравнение, чтобы найти \( x \):

\[ x + \frac{3}{2}(-6) = -7 \] \[ x - 9 = -7 \] \[ x = -7 + 9 \implies x = 2 \]

Таким образом, решение системы:

\[ (x, y) = (2, -6) \]

Задача 2:

Решить систему уравнений:

1. \( x^2 - 3xy - 2y^2 = 2 \)
2. \( x + 2y = 1 \)

Сначала выразим \( x \) из второго уравнения:

\[ x = 1 - 2y \]

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

\[ (1 - 2y)^2 - 3(1 - 2y)y - 2y^2 = 2 \]

Раскроем скобки:

\[ 1 - 4y + 4y^2 - 3y + 6y^2 - 2y^2 = 2 \]

Упростим:

\[ 1 - 4y + 8y^2 = 2 \] \[ 8y^2 - 4y + 1 - 2 = 0 \] \[ 8y^2 - 4y - 1 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 16 + 32 = 48 \]

Теперь найдём корни:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{16} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{16} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{4} \]

Теперь подставим найденные значения \( y \) обратно в \( x = 1 - 2y \):

1. Для \( y_1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{4} \): \[ x_1 = 1 - 2 \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{2 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{4 - 2 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \]

2. Для \( y_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{4} \): \[ x_2 = 1 - 2 \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{2 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{4 - 2 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \]

Таким образом, решения системы:

\[ (x_1, y_1) = \left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}\right), \quad (x_2, y_2) = \left(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}\right) \]

Задача 3:

Решить систему уравнений:

1. \( x^2 - y^2 = 5 \)
2. \( xy = 6 \)

Первое уравнение можно переписать как:

\[ (x - y)(x + y) = 5 \]

Обозначим \( s = x + y \) и \( d = x - y \). Тогда система уравнений можно записать как:

\[ s \cdot d = 5 \] Из второго уравнения:

\[ xy = 6 \Rightarrow x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = sd = 5 \]

С другой стороны:

\[ (x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy = 24 \Rightarrow s^2 - d^2 = 24 \]

Теперь у нас есть две уравнения:

1. \( sd = 5 \)
2. \( s^2 - d^2 = 24 \)

Подставим \( d = \frac{5}{s} \) в второе уравнение:

\[ s^2 - \left(\frac{5}{s}\right)^2 = 24 \] \[ s^2 - \frac{25}{s^2} = 24 \]

Умножим на \( s^2 \):

\[ s^4 - 24s^2 - 25 = 0 \] Обозначим \( z = s^2 \):

\[ z^2 - 24z - 25 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676 \]

Теперь найдём корни:

\[ z = \frac{24 \pm \sqrt{676}}{2} = \frac{24 \pm 26}{2} \]

Находим:

1. \( z_1 = \frac{50}{2} = 25 \)
2. \( z_2 = \frac{-2}{2} = -1 \) (неподходящее значение)

Таким образом, \( s^2 = 25 \) и следовательно \( s = 5 \) или \( s = -5 \).

Теперь найдем \( d \) для этих значений:

1. Если \( s = 5 \):

\[ 5d = 5 \implies d = 1 \] Так, \( x+y = 5, x-y = 1 \). Сложив эти уравнения:

\[ 2x = 6 \implies x = 3, \quad y = 5 - 3 = 2 \]

2. Если \( s = -5 \):

\[ -5d = 5 \implies d = -1 \] Так, \( x+y = -5, x-y = -1 \). Сложив эти уравнения:

\[ 2x = -6 \implies x = -3, \quad y = -5 - (-3) = -2 \]

Таким образом, решения системы:

\[ (x, y) = (3, 2) \quad \text{и} \quad (x, y) = (-3, -2) \]

Итоговые ответы:

1. \((x, y) = (2, -6)\)
2. \(\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}\right), \left(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}\right)\)
3. \((x, y) = (3, 2) \quad \text{и} \quad (x, y) = (-3, -2)\)