Задание 1. решите систему уравнений 4х+6у=-28 и 2х+4у=-20, если первое уравнение разделить на 4 задание 2. решите систему уравнений х²-3ху-2у²=2 и х+2у=1 задание 3. решите систему уравнений х²-у²=5 и ху=6

Давайте подробно разберем каждую из предложенных задач. ### Задача 1: Решить систему уравнений: 1. \( 4x + 6y = -28 \) 2. \( 2x + 4y = -20 \) Сначала упростим первое уравнение, разделив его на 4: \[ \frac{4x + 6y}{4} = \frac{-28}{4} \implies x + \frac{3}{2}y = -7 \] Теперь система уравнений выглядит следующим образом: 1. \( x + \frac{3}{2}y = -7 \) (упрощенное первое уравнение) 2. \( 2x + 4y = -20 \) Теперь можно выразить \( x \) из первого уравнения: \[ x = -7 - \frac{3}{2}y \] Подставим это выражение во второе уравнение: \[ 2(-7 - \frac{3}{2}y) + 4y = -20 \] Упростим это уравнение: \[ -14 - 3y + 4y = -20 \] \[ -14 + y = -20 \] \[ y = -20 + 14 \implies y = -6 \] Теперь подставим значение \( y \) обратно в первое уравнение, чтобы найти \( x \): \[ x + \frac{3}{2}(-6) = -7 \] \[ x - 9 = -7 \] \[ x = -7 + 9 \implies x = 2 \] Таким образом, решение системы: \[ (x, y) = (2, -6) \] ### Задача 2: Решить систему уравнений: 1. \( x^2 - 3xy - 2y^2 = 2 \) 2. \( x + 2y = 1 \) Сначала выразим \( x \) из второго уравнения: \[ x = 1 - 2y \] Теперь подставим это выражение в первое уравнение: \[ (1 - 2y)^2 - 3(1 - 2y)y - 2y^2 = 2 \] Раскроем скобки: \[ 1 - 4y + 4y^2 - 3y + 6y^2 - 2y^2 = 2 \] Упростим: \[ 1 - 4y + 8y^2 = 2 \] \[ 8y^2 - 4y + 1 - 2 = 0 \] \[ 8y^2 - 4y - 1 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 16 + 32 = 48 \] Теперь найдём корни: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{16} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{16} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{4} \] Теперь подставим найденные значения \( y \) обратно в \( x = 1 - 2y \): 1. Для \( y_1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{4} \): \[ x_1 = 1 - 2 \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{2 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{4 - 2 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \] 2. Для \( y_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{4} \): \[ x_2 = 1 - 2 \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{2 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{4 - 2 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \] Таким образом, решения системы: \[ (x_1, y_1) = \left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}\right), \quad (x_2, y_2) = \left(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}\right) \] ### Задача 3: Решить систему уравнений: 1. \( x^2 - y^2 = 5 \) 2. \( xy = 6 \) Первое уравнение можно переписать как: \[ (x - y)(x + y) = 5 \] Обозначим \( s = x + y \) и \( d = x - y \). Тогда система уравнений можно записать как: \[ s \cdot d = 5 \] Из второго уравнения: \[ xy = 6 \Rightarrow x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = sd = 5 \] С другой стороны: \[ (x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy = 24 \Rightarrow s^2 - d^2 = 24 \] Теперь у нас есть две уравнения: 1. \( sd = 5 \) 2. \( s^2 - d^2 = 24 \) Подставим \( d = \frac{5}{s} \) в второе уравнение: \[ s^2 - \left(\frac{5}{s}\right)^2 = 24 \] \[ s^2 - \frac{25}{s^2} = 24 \] Умножим на \( s^2 \): \[ s^4 - 24s^2 - 25 = 0 \] Обозначим \( z = s^2 \): \[ z^2 - 24z - 25 = 0 \] Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676 \] Теперь найдём корни: \[ z = \frac{24 \pm \sqrt{676}}{2} = \frac{24 \pm 26}{2} \] Находим: 1. \( z_1 = \frac{50}{2} = 25 \) 2. \( z_2 = \frac{-2}{2} = -1 \) (неподходящее значение) Таким образом, \( s^2 = 25 \) и следовательно \( s = 5 \) или \( s = -5 \). Теперь найдем \( d \) для этих значений: 1. Если \( s = 5 \): \[ 5d = 5 \implies d = 1 \] Так, \( x+y = 5, x-y = 1 \). Сложив эти уравнения: \[ 2x = 6 \implies x = 3, \quad y = 5 - 3 = 2 \] 2. Если \( s = -5 \): \[ -5d = 5 \implies d = -1 \] Так, \( x+y = -5, x-y = -1 \). Сложив эти уравнения: \[ 2x = -6 \implies x = -3, \quad y = -5 - (-3) = -2 \] Таким образом, решения системы: \[ (x, y) = (3, 2) \quad \text{и} \quad (x, y) = (-3, -2) \] ### Итоговые ответы: 1. \((x, y) = (2, -6)\) 2. \(\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}\right), \left(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}\right)\) 3. \((x, y) = (3, 2) \quad \text{и} \quad (x, y) = (-3, -2)\)