Решить

Давайте разберем каждую задачу по очереди. ### Задача 3: Нужно решить уравнение методом замены переменной: \[ (x^2 - 2x)^2 - 7(x^2 - 2x) - 8 = 0. \] #### Решение: 1. **Замена переменной:** Пусть \( y = x^2 - 2x \). Тогда уравнение становится: \[ y^2 - 7y - 8 = 0. \] 2. **Решаем квадратное уравнение:** Используем формулу квадратичного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 1 \), \( b = -7 \), \( c = -8 \). \[ y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}, \] \[ y = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}, \] \[ y = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2}, \] \[ y = \frac{7 \pm 9}{2}. \] Получаем два решения: \[ y_1 = \frac{7 + 9}{2} = 8, \quad y_2 = \frac{7 - 9}{2} = -1. \] 3. **Возвращаемся к переменной \( x \):** - Для \( y = 8 \): \[ x^2 - 2x = 8, \] \[ x^2 - 2x - 8 = 0, \] \[ (x-4)(x+2) = 0. \] Решения: \( x_1 = 4 \), \( x_2 = -2 \). - Для \( y = -1 \): \[ x^2 - 2x = -1, \] \[ x^2 - 2x + 1 = 0, \] \[ (x-1)^2 = 0. \] Решение: \( x = 1 \). 4. **Ответ:** \( x = 4 \), \( x = -2 \), \( x = 1 \). --- ### Задача 4: Решите уравнение: \[ (x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) = 3. \] #### Решение: 1. **Замена переменной:** Пусть \( y = x^2 - 3x \). Тогда уравнение становится: \[ (y + 1)(y + 3) = 3. \] 2. **Раскроем скобки:** \[ y^2 + 4y + 3 = 3, \] \[ y^2 + 4y + 0 = 0. \] 3. **Решим квадратное уравнение:** \[ y(y + 4) = 0. \] Решения: \( y_1 = 0 \), \( y_2 = -4 \). 4. **Возвращаемся к переменной \( x \):** - Для \( y = 0 \): \[ x^2 - 3x = 0, \] \[ x(x-3) = 0. \] Решения: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 3 \). - Для \( y = -4 \): \[ x^2 - 3x = -4, \] \[ x^2 - 3x + 4 = 0, \] Дискриминант: \[ D = 9 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -7. \] Это уравнение не имеет решений. 5. **Ответ:** \( x = 0 \), \( x = 3 \). --- ### Задача 5: Выполните замену переменной и решите уравнение: \[ (7x - 2)^2 - 12(7x - 2) - 28 = 0. \] #### Решение: 1. **Замена переменной:** Пусть \( y = 7x - 2 \). Тогда уравнение становится: \[ y^2 - 12y - 28 = 0. \] 2. **Решаем квадратное уравнение:** Используем формулу квадратичного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 1 \), \( b = -12 \), \( c = -28 \). \[ y = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28)}}{2 \cdot 1}, \] \[ y = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 112}}{2}, \] \[ y = \frac{12 \pm \sqrt{256}}{2}, \] \[ y = \frac{12 \pm 16}{2}. \] Получаем два решения: \[ y_1 = \frac{12 + 16}{2} = 14, \quad y_2 = \frac{12 - 16}{2} = -2. \] 3. **Возвращаемся к переменной \( x \):** - Для \( y = 14 \): \[ 7x - 2 = 14, \] \[ 7x = 16, \] \[ x = \frac{16}{7}. \] - Для \( y = -2 \): \[ 7x - 2 = -2, \] \[ 7x = 0, \] \[ x = 0. \] 4. **Ответ:** \( x = \frac{16}{7} \), \( x = 0 \).