В таблице дано распределение вероятностей случайной величины X X . Чему равны дисперсия D ( X ) D(X) и стандартное отклонение σ ( X ) σ(X) этой величины?

Чтобы найти дисперсию \( D(X) \) и стандартное отклонение \( \sigma(X) \) случайной величины \( X \), следуем следующим шагам:

1. Найти математическое ожидание \( E(X) \).

Математическое ожидание \( E(X) \) рассчитывается как сумма произведений возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности.

\[ E(X) = \sum (x_i \cdot P(x_i)) \]

Где \( x_i \) — значения случайной величины, а \( P(x_i) \) — соответствующие вероятности.

Подсчитаем:

\[ E(X) = 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.04 + 2 \cdot 0.04 + 3 \cdot 0.04 + 4 \cdot 0.08 + 5 \cdot 0.5 = 0 + 0.04 + 0.08 + 0.12 + 0.32 + 2.5 = 3.06 \]

2. Найти дисперсию \( D(X) \).

Дисперсия \( D(X) \) рассчитывается как сумма произведений квадратов разности между каждым значением и математическим ожиданием \( E(X) \), с соответствующими вероятностями.

\[ D(X) = \sum ((x_i - E(X))^2 \cdot P(x_i)) \]

Подсчитаем:

\[ \begin{align*} D(X) &= (0 - 3.06)^2 \cdot 0.3 + (1 - 3.06)^2 \cdot 0.04 + (2 - 3.06)^2 \cdot 0.04 \\ &\quad + (3 - 3.06)^2 \cdot 0.04 + (4 - 3.06)^2 \cdot 0.08 + (5 - 3.06)^2 \cdot 0.5 \\ &= 9.3636 \cdot 0.3 + 4.2436 \cdot 0.04 + 1.1236 \cdot 0.04 \\ &\quad + 0.0036 \cdot 0.04 + 0.8836 \cdot 0.08 + 3.7636 \cdot 0.5 \\ &= 2.80908 + 0.169744 + 0.044944 + 0.000144 + 0.070688 + 1.8818 \\ &= 4.9764 \end{align*} \]

3. Найти стандартное отклонение \( \sigma(X) \).

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии.

\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{4.9764} \approx 2.23 \]

Ответ:

• Дисперсия \( D(X) \) ≈ 4.98
• Стандартное отклонение \( \sigma(X) \) ≈ 2.23

Округляем до сотых, как требуется в задаче.