Чтобы найти дисперсию ( D(X) ) и стандартное отклонение ( \sigma(X) ) случайной величины ( X ), следуем следующим шагам:
1. Найти математическое ожидание ( E(X) ).
Математическое ожидание ( E(X) ) рассчитывается как сумма произведений возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности.
[
E(X) = \sum (x_i \cdot P(x_i))
]
Где ( x_i ) — значения случайной величины, а ( P(x_i) ) — соответствующие вероятности.
Подсчитаем:
[
E(X) = 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.04 + 2 \cdot 0.04 + 3 \cdot 0.04 + 4 \cdot 0.08 + 5 \cdot 0.5 = 0 + 0.04 + 0.08 + 0.12 + 0.32 + 2.5 = 3.06
]
2. Найти дисперсию ( D(X) ).
Дисперсия ( D(X) ) рассчитывается как сумма произведений квадратов разности между каждым значением и математическим ожиданием ( E(X) ), с соответствующими вероятностями.
[
D(X) = \sum ((x_i - E(X))^2 \cdot P(x_i))
]
Подсчитаем:
[
\begin{align*}
D(X) &= (0 - 3.06)^2 \cdot 0.3 + (1 - 3.06)^2 \cdot 0.04 + (2 - 3.06)^2 \cdot 0.04 \
&\quad + (3 - 3.06)^2 \cdot 0.04 + (4 - 3.06)^2 \cdot 0.08 + (5 - 3.06)^2 \cdot 0.5 \
&= 9.3636 \cdot 0.3 + 4.2436 \cdot 0.04 + 1.1236 \cdot 0.04 \
&\quad + 0.0036 \cdot 0.04 + 0.8836 \cdot 0.08 + 3.7636 \cdot 0.5 \
&= 2.80908 + 0.169744 + 0.044944 + 0.000144 + 0.070688 + 1.8818 \
&= 4.9764
\end{align*}
]
3. Найти стандартное отклонение ( \sigma(X) ).
Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии.
[
\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{4.9764} \approx 2.23
]
Ответ:
- Дисперсия ( D(X) ) ≈ 4.98
- Стандартное отклонение ( \sigma(X) ) ≈ 2.23
Округляем до сотых, как требуется в задаче.
