У царя есть 5 мешков с золотыми монетами, в каждом по 100 монет. Царь помнит, что в одном мешке все монеты весят 10 г, во втором 11 г, в третьем 12 г, в четвёртом 13 г, в пятом 14…
У царя есть 5 мешков с золотыми монетами, в каждом по 100 монет. Царь помнит, что в одном мешке все монеты весят 10 г, во втором 11 г, в третьем 12 г, в четвёртом 13 г, в пятом 14 г, но не помнит, где какие. Царь сообщил это придворному мудрецу и указал на один из мешков. Мудрец может вынимать из этого и из других мешков любое количество монет, но на вид они все одинаковы. Однако у мудреца есть большие двухчашечные весы без гирь (они точно покажут, равны ли веса на чашках, а если нет, то какая чашка тяжелее). а) [4 балла] Может ли мудрец за одно взвешивание проверить, верно ли, что в указанном мешке хранятся монеты по 10 г? б) [6 баллов] Может ли мудрец определить, какие монеты в указанном мешке, сделав не более двух взвешиваний?
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Задача:
У нас есть 5 мешков с золотыми монетами:
- Мешок 1: 100 монет по 10 г
- Мешок 2: 100 монет по 11 г
- Мешок 3: 100 монет по 12 г
- Мешок 4: 100 монет по 13 г
- Мешок 5: 100 монет по 14 г
Цель: Определить вес монет в указанном мешке, используя весы.
Решение
Часть а) Может ли мудрец за одно взвешивание проверить, верно ли, что в указанном мешке хранятся монеты по 10 г?
Выбор мешков: Мудрец может взять один из мешков (например, мешок \( M_1 \), указанный царем) и добавлять монеты из других мешков для взвешивания. Давайте рассмотрим, как это может сработать на практике.
Взвешивание: Пусть мудрец:
- Берет 10 монет из \( M_1 \) (то есть из того мешка, который указал царь).
- Берет 9 монет из \( M_2 \) (песок с 11 г).
- Берет 8 монет из \( M_3 \) (песок с 12 г).
- Берет 7 монет из \( M_4 \) (песок с 13 г).
- Берет 6 монет из \( M_5 \) (песок с 14 г).
Это дает в сумме 40 монет (10 + 9 + 8 + 7 + 6 = 40), и их общий вес можно вычислить, исходя из веса монет:
Если в запрашиваемом мешке 10-граммовые монеты, вес весов будет: \[ 10 \times 10 + 9 \times 11 + 8 \times 12 + 7 \times 13 + 6 \times 14 \]
Если мешок содержит монеты по 10 г, то: \[ 100 + 99 + 96 + 91 + 84 = 470 \text{ г} \]
Если в мешке, скажем, 11-граммовые монеты, то вес весов будет: \[ 11 \times 10 + 9 \times 11 + 8 \times 12 + 7 \times 13 + 6 \times 14 \] и так далее.
Определение по итоговому весу: На основании того, какой вес будет получен, мудрец сможет сопоставить его с ожидаемым весом и понять, соответствует ли вес монет в указанном мешке 10 г.
Таким образом, мудрец может проверить, верно ли, что в указанном мешке хранятся монеты по 10 г, за одно взвешивание.
Часть б) Может ли мудрец определить, какие монеты в указанном мешке, сделав не более двух взвешиваний?
Первое взвешивание: Как и в предыдущей части, мудрец может провести первое взвешивание, как описано выше, чтобы узнать, действительно ли в указанном мешке 10-граммовые монеты или вес отличается. Это может помочь ему исключить варианты.
Второе взвешивание: После первого взвешивания мы можем определить, какие монеты находятся в 4 остальных мешках. Допустим, результат первого взвешивания показал, что вес отличается, например, на 1, 2, 3 или 4 г:
- Если разница равна 1 г, это может значить, что в указанном мешке 11-граммовые монеты.
- Если 2 г — значит, там 12-граммовые и т.д.
Заключение: После понимания разницы в весе, мудрец может использовать второе взвешивание, например, сравнив определенное количество монет из выбранного мешка с оставшимися, чтобы определить, какое из них.
Таким образом, мудрец может определить, какие монеты в указанном мешке, сделав не более двух взвешиваний.
Итог
а) Да, мудрец может проверить, что в указанном мешке хранятся монеты по 10 г за одно взвешивание.
б) Да, мудрец может определить, какие монеты в указанном мешке, сделав не более двух взвешиваний.
