Решить неравенство

Для решения неравенства \[ \frac{-12}{(x-1)^2 - 2} > 0, \] давайте рассмотрим шаги: 1. **Определим область определения:** Дробь определена, когда знаменатель не равен нулю. Нам нужно решить уравнение: \[ (x-1)^2 - 2 \neq 0. \] Решим уравнение: \[ (x-1)^2 = 2. \] Из этого следует, что \[ x-1 = \pm \sqrt{2}. \] Значит: \[ x = 1 \pm \sqrt{2}. \] Поэтому \( x \neq 1 + \sqrt{2} \) и \( x \neq 1 - \sqrt{2} \). 2. **Исследуем знак дроби:** Дробь \(\frac{-12}{(x-1)^2 - 2}\) будет положительной, когда знаменатель отрицателен, так как числитель отрицателен. Найдем, где знаменатель отрицателен: \[ (x-1)^2 - 2 < 0. \] То есть: \[ (x-1)^2 < 2. \] Решаем это как двойное неравенство: \[ -\sqrt{2} < x-1 < \sqrt{2}. \] Откуда: \[ 1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}. \] 3. **Объединим всё вместе:** Учитывая ограничения, найдём промежуток решений: \[ 1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}. \] При этом нам нужно исключить точки, где знаменатель обращается в ноль, то есть точки: \( x = 1 + \sqrt{2} \) и \( x = 1 - \sqrt{2} \). Таким образом, окончательное решение будет: \[ x \in (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}). \] Это означает, что значения \( x \) должны лежать строго между \( 1 - \sqrt{2} \) и \( 1 + \sqrt{2} \), не включая сами эти точки.