(х+у)⁴
Для решения задачи \((x+y)^4\) мы можем воспользоваться биномиальной теоремой, которая позволяет разложить выражение вида \((a+b)^n\). В нашем случае \(a = x\), \(b = y\) и \(n = 4\).
Шаг 1: Биномиальная теорема
Биномиальная теорема гласит, что: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]
где \(\binom{n}{k}\) — это биномиальный коэффициент, вычисляемый по формуле: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Шаг 2: Применение теоремы
В нашем случае \(n = 4\), \(a = x\) и \(b = y\). Подставим данные значения в биномиальную формулу:
\[ (x+y)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} y^k \]
Шаг 3: Вычисление биномиальных коэффициентов
Теперь найдем биномиальные коэффициенты \(\binom{4}{k}\) для \(k = 0, 1, 2, 3, 4\):
- \(k = 0\): \(\binom{4}{0} = 1\)
- \(k = 1\): \(\binom{4}{1} = 4\)
- \(k = 2\): \(\binom{4}{2} = 6\)
- \(k = 3\): \(\binom{4}{3} = 4\)
- \(k = 4\): \(\binom{4}{4} = 1\)
Шаг 4: Подстановка и упрощение
Теперь мы подставим биномиальные коэффициенты в формулу:
\[ (x+y)^4 = \binom{4}{0} x^{4}y^{0} + \binom{4}{1} x^{3}y^{1} + \binom{4}{2} x^{2}y^{2} + \binom{4}{3} x^{1}y^{3} + \binom{4}{4} x^{0}y^{4} \]
Рассчитаем каждое слагаемое:
- \(1 \cdot x^{4} \cdot 1 = x^{4}\)
- \(4 \cdot x^{3} \cdot y = 4x^{3}y\)
- \(6 \cdot x^{2} \cdot y^{2} = 6x^{2}y^{2}\)
- \(4 \cdot x \cdot y^{3} = 4xy^{3}\)
- \(1 \cdot 1 \cdot y^{4} = y^{4}\)
Шаг 5: Итоговое выражение
Теперь мы можем записать окончательный результат, объединив все слагаемые:
\[ (x+y)^4 = x^{4} + 4x^{3}y + 6x^{2}y^{2} + 4xy^{3} + y^{4} \]
Вывод
Таким образом, разложение выражения \((x+y)^4\) по биномиальной теореме дает: \[ (x+y)^4 = x^{4} + 4x^{3}y + 6x^{2}y^{2} + 4xy^{3} + y^{4} \]
Если у вас остались вопросы по решению или есть другие задачи, не стесняйтесь задавать!
