Чтобы решить задачу, нам нужно определить периметр квадрата, вершины которого находятся в серединах сторон исходного квадрата с диагональю 32 см. Давайте разберёмся по шагам.
Шаг 1: Найдем сторону исходного квадрата
Известно, что длина диагонали квадрата и формула для нахождения диагонали квадрата следующая:
[
d = a \sqrt{2}
]
где ( d ) — длина диагонали, ( a ) — длина стороны квадрата.
Подставляем известное значение диагонали:
[
32 = a \sqrt{2}
]
Чтобы найти ( a ), делим обе стороны уравнения на ( \sqrt{2} ):
[
a = \frac{32}{\sqrt{2}} = 32 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16\sqrt{2} \text{ см}
]
Шаг 2: Найдем длину стороны нового квадрата
Вершины нового квадрата расположены в серединах сторон исходного квадрата. Поскольку каждая сторона исходного квадрата равна ( 16\sqrt{2} ), то каждая половина стороны равна:
[
\frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \text{ см}
]
Теперь новый квадрат, образованный вершинами в серединах сторон, является квадратом с диагональю, равной длине стороны исходного квадрата.
Шаг 3: Рассчитаем диагональ нового квадрата
Диагональ нового квадрата равна:
[
d' = a = 8\sqrt{2} \sqrt{2} = 8 \cdot 2 = 16 \text{ см}
]
Шаг 4: Найдем длину стороны нового квадрата
Используя формулу для диагонали квадрата:
[
d' = a' \sqrt{2}
]
где ( a' ) — длина стороны нового квадрата.
Подставим значение:
[
16 = a' \sqrt{2}
]
Разделим обе стороны на ( \sqrt{2} ):
[
a' = \frac{16}{\sqrt{2}} = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \text{ см}
]
Шаг 5: Найдем периметр нового квадрата
Периметр квадрата рассчитывается по формуле:
[
P = 4a'
]
Подставляем:
[
P = 4 \cdot 8\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \text{ см}
]
Ответ
Периметр нового квадрата, вершины которого находятся в серединах сторон исходного квадрата, равен ( 32\sqrt{2} ) см.
