Из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми составляет 80 км, по реке отправился катер. В пункте Б катер остановился на 2 часа, после чего вернулся в пункт А. Найдите…

Для решения этой задачи начнем с анализа всех данных.

Данные:

• Расстояние от пункта А до пункта Б: 80 км
• Время остановки в пункте Б: 2 часа
• Общее время в пути: 11 часов
• Текущая скорость реки: 2 км/ч

Обозначим переменные:

• \( v \) — собственная скорость катера (в км/ч)
• \( v_{\text{катера}} \) — скорость катера по течению реки, тогда \( v_{\text{катера}} = v + 2 \) (так как катер движется по течению)
• \( v_{\text{катера, против}} \) — скорость катера против течения, тогда \( v_{\text{катера, против}} = v - 2 \)

Путь:

1. Путь от А до Б:

   • Время пути от А до Б можно найти по формуле: \[ t_1 = \frac{d}{v_{\text{катера}}} = \frac{80}{v + 2} \]

2. Путь от Б до А:

   • Время пути от Б обратно в А: \[ t_2 = \frac{d}{v_{\text{катера, против}}} = \frac{80}{v - 2} \]

Общее время:

Общее время в пути включает время в пути туда, время в пути обратно и 2 часа остановки: \[ t_1 + t_2 + 2 = 11 \] Подставим наши выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2} + 2 = 11 \]

Упростим уравнение:

Сначала уберем 2 с обеих сторон: \[ \frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2} = 9 \]

Теперь умножим все на \( (v + 2)(v - 2) \), чтобы избавиться от дробей: \[ 80(v - 2) + 80(v + 2) = 9(v^2 - 4) \] Раскроем скобки: \[ 80v - 160 + 80v + 160 = 9v^2 - 36 \] Соберем подобные: \[ 160v = 9v^2 - 36 \] Перепишем уравнение в виде: \[ 9v^2 - 160v - 36 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

Сначала найдем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-160)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 25600 + 1296 = 26896 \] Теперь находим корни уравнения по формуле: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{160 \pm \sqrt{26896}}{18} \] Находим \( \sqrt{26896} \): \[ \sqrt{26896} \approx 164 \] Следовательно: \[ v = \frac{160 \pm 164}{18} \]

Получим два значения:

1. \( v_1 = \frac{324}{18} = 18 \)
2. \( v_2 = \frac{-4}{18} \) (отрицательное значение нам не нужно)

Таким образом, собственная скорость катера равна 18 км/ч.

Ответ:

Собственная скорость катера составляет 18 км/ч.