Из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми составляет 80 км, по реке отправился катер. В пункте Б катер остановился на 2 часа, после чего вернулся в пункт А. Найдите собственную скорость катера, если весь путь занял 11 часов, а текущая скорость составляет 2 км/ч.

Для решения этой задачи начнем с анализа всех данных. ### Данные: - Расстояние от пункта А до пункта Б: 80 км - Время остановки в пункте Б: 2 часа - Общее время в пути: 11 часов - Текущая скорость реки: 2 км/ч ### Обозначим переменные: - \( v \) — собственная скорость катера (в км/ч) - \( v_{\text{катера}} \) — скорость катера по течению реки, тогда \( v_{\text{катера}} = v + 2 \) (так как катер движется по течению) - \( v_{\text{катера, против}} \) — скорость катера против течения, тогда \( v_{\text{катера, против}} = v - 2 \) ### Путь: 1. **Путь от А до Б:** - Время пути от А до Б можно найти по формуле: \[ t_1 = \frac{d}{v_{\text{катера}}} = \frac{80}{v + 2} \] 2. **Путь от Б до А:** - Время пути от Б обратно в А: \[ t_2 = \frac{d}{v_{\text{катера, против}}} = \frac{80}{v - 2} \] ### Общее время: Общее время в пути включает время в пути туда, время в пути обратно и 2 часа остановки: \[ t_1 + t_2 + 2 = 11 \] Подставим наши выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2} + 2 = 11 \] ### Упростим уравнение: Сначала уберем 2 с обеих сторон: \[ \frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2} = 9 \] Теперь умножим все на \( (v + 2)(v - 2) \), чтобы избавиться от дробей: \[ 80(v - 2) + 80(v + 2) = 9(v^2 - 4) \] Раскроем скобки: \[ 80v - 160 + 80v + 160 = 9v^2 - 36 \] Соберем подобные: \[ 160v = 9v^2 - 36 \] Перепишем уравнение в виде: \[ 9v^2 - 160v - 36 = 0 \] ### Решим квадратное уравнение: Сначала найдем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-160)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 25600 + 1296 = 26896 \] Теперь находим корни уравнения по формуле: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{160 \pm \sqrt{26896}}{18} \] Находим \( \sqrt{26896} \): \[ \sqrt{26896} \approx 164 \] Следовательно: \[ v = \frac{160 \pm 164}{18} \] Получим два значения: 1. \( v_1 = \frac{324}{18} = 18 \) 2. \( v_2 = \frac{-4}{18} \) (отрицательное значение нам не нужно) Таким образом, **собственная скорость катера** равна **18 км/ч**. ### Ответ: Собственная скорость катера составляет 18 км/ч.