Моторная лодка отправилась из города А в 15:00 в город В, расположенный в 15 км от А. Проведя 80 минут в городе В, моторная лодка отправилась в обратный путь и вернулась в пункт А…

Чтобы решить задачу, давайте разберем все этапы по порядку и вычислим собственную скорость лодки.

Дано:

• Расстояние от города А до города В: 15 км
• Время, проведенное в городе В: 80 минут (или \( \frac{80}{60} = \frac{4}{3} \) часа)
• Время отправления из города А: 15:00
• Время возвращения в город А: 19:00

Шаг 1: Найдем общее время путешествия

Путешествие началось в 15:00 и закончилось в 19:00, значит общее время в пути составляет:

\[ 19:00 - 15:00 = 4 \text{ часа} \]

Из этого времени нужно вычесть время, проведенное в городе В:

\[ 4 \text{ часа} - \frac{4}{3} \text{ часа} = 4 - 1.33 = 2.67 \text{ часа} \quad (\text{или } \frac{8}{3} \text{ часа}) \]

Это время включает в себя две части: путь от А до В и обратно из В в А.

Шаг 2: Найдем время в пути

Обозначим:

• \( t_1 \) — время в пути от А до В,
• \( t_2 \) — время в пути от В до А.

Суммарное время в пути \( t_1 + t_2 = \frac{8}{3} \) часа.

Шаг 3: Учитываем скорость течения и собственную скорость лодки

Обозначим собственную скорость лодки как \( v \). Тогда, учитывая скорость течения реки (3 км/ч):

• Для пути от А до В: \[ t_1 = \frac{15}{v + 3} \]

• Для пути от В до А: \[ t_2 = \frac{15}{v - 3} \quad (\text{при условии, что } v > 3) \]

Шаг 4: Составим уравнение

Теперь подставим \( t_1 \) и \( t_2 \) в уравнение для всего времени:

\[ \frac{15}{v + 3} + \frac{15}{v - 3} = \frac{8}{3} \]

Шаг 5: Умножим на общий знаменатель

Общий знаменатель для дробей будет \( (v + 3)(v - 3) \). Умножим обе стороны на этот знаменатель:

\[ 15(v - 3) + 15(v + 3) = \frac{8}{3}(v + 3)(v - 3) \]

Упростим левую часть:

\[ 15v - 45 + 15v + 45 = 30v \]

Теперь правую часть:

\[ \frac{8}{3}(v^2 - 9) \]

Получаем:

\[ 30v = \frac{8}{3}v^2 - 24 \]

Шаг 6: Переносим все в одну сторону

Умножим на 3, чтобы избавиться от дробей:

\[ 90v = 8v^2 - 72 \]

Теперь:

\[ 8v^2 - 90v - 72 = 0 \]

Шаг 7: Решение квадратного уравнения

Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{90 \pm \sqrt{(-90)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-72)}}{2 \cdot 8} \]

Посчитаем дискриминант:

\[ D = 8100 + 2304 = 10404 \]

Теперь находите корень:

\[ \sqrt{10404} = 102 \]

Теперь подставим в формулу:

\[ v = \frac{90 \pm 102}{16} \]

Варианты:

1. \( v_1 = \frac{192}{16} = 12 \) км/ч
2. \( v_2 = \frac{-12}{16} = -0.75 \) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

Шаг 8: Ответ

Таким образом, собственная скорость лодки составляет:

\[ \boxed{12} \, \text{км/ч} \]