Чтобы решить задачу, давайте разберем все этапы по порядку и вычислим собственную скорость лодки.
Дано:
- Расстояние от города А до города В: 15 км
- Время, проведенное в городе В: 80 минут (или ( \frac{80}{60} = \frac{4}{3} ) часа)
- Время отправления из города А: 15:00
- Время возвращения в город А: 19:00
Шаг 1: Найдем общее время путешествия
Путешествие началось в 15:00 и закончилось в 19:00, значит общее время в пути составляет:
[
19:00 - 15:00 = 4 \text{ часа}
]
Из этого времени нужно вычесть время, проведенное в городе В:
[
4 \text{ часа} - \frac{4}{3} \text{ часа} = 4 - 1.33 = 2.67 \text{ часа} \quad (\text{или } \frac{8}{3} \text{ часа})
]
Это время включает в себя две части: путь от А до В и обратно из В в А.
Шаг 2: Найдем время в пути
Обозначим:
- ( t_1 ) — время в пути от А до В,
- ( t_2 ) — время в пути от В до А.
Суммарное время в пути ( t_1 + t_2 = \frac{8}{3} ) часа.
Шаг 3: Учитываем скорость течения и собственную скорость лодки
Обозначим собственную скорость лодки как ( v ). Тогда, учитывая скорость течения реки (3 км/ч):
Для пути от А до В:
[
t_1 = \frac{15}{v + 3}
]
Для пути от В до А:
[
t_2 = \frac{15}{v - 3} \quad (\text{при условии, что } v > 3)
]
Шаг 4: Составим уравнение
Теперь подставим ( t_1 ) и ( t_2 ) в уравнение для всего времени:
[
\frac{15}{v + 3} + \frac{15}{v - 3} = \frac{8}{3}
]
Шаг 5: Умножим на общий знаменатель
Общий знаменатель для дробей будет ( (v + 3)(v - 3) ). Умножим обе стороны на этот знаменатель:
[
15(v - 3) + 15(v + 3) = \frac{8}{3}(v + 3)(v - 3)
]
Упростим левую часть:
[
15v - 45 + 15v + 45 = 30v
]
Теперь правую часть:
[
\frac{8}{3}(v^2 - 9)
]
Получаем:
[
30v = \frac{8}{3}v^2 - 24
]
Шаг 6: Переносим все в одну сторону
Умножим на 3, чтобы избавиться от дробей:
[
90v = 8v^2 - 72
]
Теперь:
[
8v^2 - 90v - 72 = 0
]
Шаг 7: Решение квадратного уравнения
Используем формулу для решения квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{90 \pm \sqrt{(-90)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-72)}}{2 \cdot 8}
]
Посчитаем дискриминант:
[
D = 8100 + 2304 = 10404
]
Теперь находите корень:
[
\sqrt{10404} = 102
]
Теперь подставим в формулу:
[
v = \frac{90 \pm 102}{16}
]
Варианты:
- ( v_1 = \frac{192}{16} = 12 ) км/ч
- ( v_2 = \frac{-12}{16} = -0.75 ) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)
Шаг 8: Ответ
Таким образом, собственная скорость лодки составляет:
[
\boxed{12} , \text{км/ч}
]
