В поступившей партии швейных машинок из 30 штук имеются 10 с дефектом. Какова вероятность того, что в партии из 5 машинок, взятых наугад, 3 будут без дефекта?

Для решения задачи о вероятности давайте применим комбинаторные формулы. Задача состоит в том, чтобы найти вероятность того, что в партии из 5 машинок, взятых наугад, 3 будут без дефекта, если в партии из 30 машинок имеется 10 с дефектом и 20 без дефекта.

Исходные данные:

• Всего машинок: 30
• Машинок с дефектом: 10
• Машинок без дефектов: 20
• Выбираем машинок: 5
• Нужно, чтобы 3 были без дефекта.

Шаг 1: Определим необходимые комбинации

• Мы выбираем 5 машинок из 30, и среди выбранных машинок у нас должно быть 3 без дефектов и 2 с дефектами.

Количество способов выбрать 3 хорошие машинки:

Для этого используем сочетания: \[ C(20, 3) = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3! \cdot 17!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140 \]

Количество способов выбрать 2 дефектные машинки:

Также используем сочетания: \[ C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \]

Шаг 2: Найдем общее количество способов выбрать 5 машинок

Теперь нужно найти общее количество способов выбрать любые 5 машинок из 30: \[ C(30, 5) = \frac{30!}{5!(30-5)!} = \frac{30!}{5! \cdot 25!} = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 142506 \]

Шаг 3: Находим нужную вероятность

Теперь мы можем найти количество благоприятных исходов — это произведение количества способов выбрать хорошие и дефектные машинки: \[ \text{Благоприятные исходы} = C(20, 3) \times C(10, 2) = 1140 \times 45 = 51300 \]

Теперь вероятность того, что в выбранной группе из 5 машинок будет 3 без дефекта: \[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{51300}{142506} \]

Шаг 4: Считаем вероятность

Для удобства, давайте упростим дробь: \[ P \approx 0.3605 \]

Ответ:

Таким образом, вероятность того, что из 5 случайно выбранных машинок 3 будут без дефекта, составляет примерно 0.3605, или 36.05%.