Для решения задачи о вероятности давайте применим комбинаторные формулы. Задача состоит в том, чтобы найти вероятность того, что в партии из 5 машинок, взятых наугад, 3 будут без дефекта, если в партии из 30 машинок имеется 10 с дефектом и 20 без дефекта.
Исходные данные:
- Всего машинок: 30
- Машинок с дефектом: 10
- Машинок без дефектов: 20
- Выбираем машинок: 5
- Нужно, чтобы 3 были без дефекта.
Шаг 1: Определим необходимые комбинации
- Мы выбираем 5 машинок из 30, и среди выбранных машинок у нас должно быть 3 без дефектов и 2 с дефектами.
Количество способов выбрать 3 хорошие машинки:
Для этого используем сочетания:
[
C(20, 3) = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3! \cdot 17!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140
]
Количество способов выбрать 2 дефектные машинки:
Также используем сочетания:
[
C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
]
Шаг 2: Найдем общее количество способов выбрать 5 машинок
Теперь нужно найти общее количество способов выбрать любые 5 машинок из 30:
[
C(30, 5) = \frac{30!}{5!(30-5)!} = \frac{30!}{5! \cdot 25!} = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 142506
]
Шаг 3: Находим нужную вероятность
Теперь мы можем найти количество благоприятных исходов — это произведение количества способов выбрать хорошие и дефектные машинки:
[
\text{Благоприятные исходы} = C(20, 3) \times C(10, 2) = 1140 \times 45 = 51300
]
Теперь вероятность того, что в выбранной группе из 5 машинок будет 3 без дефекта:
[
P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{51300}{142506}
]
Шаг 4: Считаем вероятность
Для удобства, давайте упростим дробь:
[
P \approx 0.3605
]
Ответ:
Таким образом, вероятность того, что из 5 случайно выбранных машинок 3 будут без дефекта, составляет примерно 0.3605, или 36.05%.
