решить задачу
Давайте разберем задачу по шагам.
Условие задачи:
В продаже имеется набор из 8 бубенцов. Вероятность того, что бубенец в наборе будет с остроконечной начинкой, равна 0.7. Нужно найти вероятность того, что по крайней мере будет 3 бубенца с остроконечной начинкой.
Это классическая задача на распределение Бернулли, так как мы имеем независимые испытания с двумя возможными исходами (бубенец с остроконечной начинкой или нет) и постоянную вероятность успеха (0.7).
Шаги решения:
Обозначим переменные:
- \( n = 8 \) — общее количество бубенцов.
- \( p = 0.7 \) — вероятность того, что бубенец будет с остроконечной начинкой.
Поиск вероятности того, что по крайней мере 3 бубенца будут с остроконечной начинкой:
Для этого нужно найти вероятности от 0 до 2 включительно и вычесть из единицы:
\[ P(X \geq 3) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)) \]
Формула для биномиального распределения:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Вычислим нужные вероятности:
- \( P(X = 0) = \binom{8}{0} \cdot 0.7^0 \cdot 0.3^8 = 1 \cdot 1 \cdot 0.00006561 = 0.00006561 \)
- \( P(X = 1) = \binom{8}{1} \cdot 0.7^1 \cdot 0.3^7 = 8 \cdot 0.7 \cdot 0.0002187 = 0.0012288 \)
- \( P(X = 2) = \binom{8}{2} \cdot 0.7^2 \cdot 0.3^6 = 28 \cdot 0.49 \cdot 0.000729 = 0.0077978 \)
Теперь можно найти \( P(X \geq 3) \):
\[ P(X \geq 3) = 1 - (0.00006561 + 0.0012288 + 0.0077978) \]
\[ P(X \geq 3) = 1 - 0.00909221 = 0.99090779 \]
Округляем до тысячных:
Вероятность того, что по крайней мере 3 бубенца будут с остроконечной начинкой, равна \( 0.991 \).
Ответ: 0.991.
