Точки А, В, С и Dимеют следующие координаты: A(2; -4), B(2; -6), C(8; -1), D(-3;4). Найдите скалярное произведение векторов АС и BD. Введите целое число или десятичную дробь……

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем векторы AC и BD

Сначала вычислим координаты векторов AC и BD:

• Вектор AC:

  • Координаты точки A: \( A(2; -4) \)
  • Координаты точки C: \( C(8; -1) \)

  Вектор AC вычисляется как разность координат: \[ \vec{AC} = C - A = (8 - 2; -1 - (-4)) = (6; 3) \]

• Вектор BD:

  • Координаты точки B: \( B(2; -6) \)
  • Координаты точки D: \( D(-3; 4) \)

  Вектор BD также вычисляется как разность координат: \[ \vec{BD} = D - B = (-3 - 2; 4 - (-6)) = (-5; 10) \]

Шаг 2: Найдем скалярное произведение векторов AC и BD

Скалярное произведение двух векторов \( \vec{a} = (a_1, a_2) \) и \( \vec{b} = (b_1, b_2) \) рассчитывается по формуле: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \]

Теперь подставим координаты векторов \( AC \) и \( BD \):

• Вектор \( AC = (6; 3) \)
• Вектор \( BD = (-5; 10) \)

Вычислим скалярное произведение: \[ \vec{AC} \cdot \vec{BD} = 6 \cdot (-5) + 3 \cdot 10 = -30 + 30 = 0 \]

Шаг 3: Найдем угол между векторами AC и BD

Угол между двумя векторами можно найти с использованием следующей формулы: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \] где \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{b}| \) — длины векторов.

Длина вектора AC:

\[ |\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]

Длина вектора BD:

\[ |\vec{BD}| = \sqrt{(-5)^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \]

Теперь подставим все значения в формулу для косинуса угла: \[ \cos(\theta) = \frac{0}{(3\sqrt{5}) \cdot (5\sqrt{5})} = 0 \]

Это означает, что \( \theta = 90^\circ \), так как косинус угла равен нулю.

Ответы:

1. Скалярное произведение векторов AC и BD: \( 0 \)
2. Угол между векторами AC и BD: \( 90^\circ \)