Давайте решим задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Найдем векторы AC и BD
Сначала вычислим координаты векторов AC и BD:
Вектор AC:
- Координаты точки A: ( A(2; -4) )
- Координаты точки C: ( C(8; -1) )
Вектор AC вычисляется как разность координат:
[
\vec{AC} = C - A = (8 - 2; -1 - (-4)) = (6; 3)
]
Вектор BD:
- Координаты точки B: ( B(2; -6) )
- Координаты точки D: ( D(-3; 4) )
Вектор BD также вычисляется как разность координат:
[
\vec{BD} = D - B = (-3 - 2; 4 - (-6)) = (-5; 10)
]
Шаг 2: Найдем скалярное произведение векторов AC и BD
Скалярное произведение двух векторов ( \vec{a} = (a_1, a_2) ) и ( \vec{b} = (b_1, b_2) ) рассчитывается по формуле:
[
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2
]
Теперь подставим координаты векторов ( AC ) и ( BD ):
- Вектор ( AC = (6; 3) )
- Вектор ( BD = (-5; 10) )
Вычислим скалярное произведение:
[
\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 6 \cdot (-5) + 3 \cdot 10 = -30 + 30 = 0
]
Шаг 3: Найдем угол между векторами AC и BD
Угол между двумя векторами можно найти с использованием следующей формулы:
[
\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}
]
где ( |\vec{a}| ) и ( |\vec{b}| ) — длины векторов.
Длина вектора AC:
[
|\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}
]
Длина вектора BD:
[
|\vec{BD}| = \sqrt{(-5)^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}
]
Теперь подставим все значения в формулу для косинуса угла:
[
\cos(\theta) = \frac{0}{(3\sqrt{5}) \cdot (5\sqrt{5})} = 0
]
Это означает, что ( \theta = 90^\circ ), так как косинус угла равен нулю.
Ответы:
- Скалярное произведение векторов AC и BD: ( 0 )
- Угол между векторами AC и BD: ( 90^\circ )
