Единичная полуокружность задается уравнением x^2+y^2=1 при условии y больше или равен нулю. Отметьте все точки, которые лежат на единичной полуокружности

Чтобы понять, как отмечать точки на единичной полуокружности, давайте разберем задачу пошагово.

Шаг 1: Понимание уравнения

Единичная полуокружность задается уравнением:

\[ x^2 + y^2 = 1 \]

Это уравнение окружности радиуса 1 с центром в начале координат (0, 0). Однако в условии сказано, что \( y \) должен быть больше или равен нулю. Это означает, что мы рассматриваем только верхнюю половину окружности, что делает её "полуокружностью".

Шаг 2: Определение точек на полуокружности

Чтобы найти точки, которые лежат на этой полуокружности, нужно найти все возможные значения координат \( x \) и \( y\), удовлетворяющие условию \( x^2 + y^2 = 1 \) и \( y \geq 0 \).

Шаг 3: Нахождение значений

Для поиска точек на полуокружности можно выразить \( y \) через \( x \):

\[ y = \sqrt{1 - x^2} \]

Здесь \( \sqrt{1 - x^2} \) будет определено только для тех \( x \), для которых \( 1 - x^2 \geq 0 \). Это означает, что \( x \) должен находиться в диапазоне от -1 до 1:

\[ -1 \leq x \leq 1 \]

Теперь давайте подставим разные значения \( x \) в уравнение, чтобы найти соответствующие значения \( y \):

• Если \( x = -1 \): \[ y = \sqrt{1 - (-1)^2} = \sqrt{0} = 0 \quad \text{→ точка } (-1, 0) \]

• Если \( x = 0 \): \[ y = \sqrt{1 - 0^2} = \sqrt{1} = 1 \quad \text{→ точка } (0, 1) \]

• Если \( x = 1 \): \[ y = \sqrt{1 - 1^2} = \sqrt{0} = 0 \quad \text{→ точка } (1, 0) \]

• Если \( x = \frac{1}{2} \): \[ y = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{→ точка } \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]

• Если \( x = -\frac{1}{2} \): \[ y = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{→ точка } \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]

Шаг 4: Вывод

Таким образом, все точки, которые лежат на единичной полуокружности при условии \( y \geq 0 \), можно описать следующим образом:

• Верхняя часть окружности от (-1, 0) до (1, 0), включая крайние точки:
  • (-1, 0)
  • (0, 1)
  • (1, 0)

Координаты точек будут выглядеть следующим образом:

• Точки на полуокружности: \(\{(x, y) : x^2 + y^2 = 1 \text{ и } y \geq 0 \}\).

Таким образом, точек на этой полуокружности бесконечно много, и их можно получать, подставляя различные значения \( x \) в указанную формулу для \( y \) в пределах от -1 до 1.