Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна х. М - середина ребра BC, L - середина ребра АВ.
a) Докажите, что плоскость, содержащая прямую DM и параллельная прямой CL, делит ребро АВ в отношении 3:1, считая от
вершины А.
б) Найдите угол между прямыми DM и CL.
Чтобы решить эту задачу, давайте поэтапно разберём каждый пункт.
### Часть (а)
1. **Определяем координаты вершин тетраэдра**:
- Пусть \( A(0, 0, 0) \) — одна из вершин,
- \( B(x, 0, 0) \) — другая вершина, ближняя к A,
- \( C\left(\frac{x}{2}, \frac{x\sqrt{3}}{2}, 0\right) \) — третья вершина,
- \( D\left(\frac{x}{2}, \frac{x}{2\sqrt{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}x\right) \) — четвёртая вершина.
2. **Находим координаты средних точек**:
- Точка \( M \) (середина ребра \( BC \)):
\[
M = \left( \frac{\frac{x}{2} + x}{2}, \frac{\frac{x\sqrt{3}}{2} + 0}{2}, 0 \right) = \left( \frac{3x}{4}, \frac{x\sqrt{3}}{4}, 0 \right)
\]
- Точка \( L \) (середина ребра \( AB \)):
\[
L = \left( \frac{0 + x}{2}, 0, 0 \right) = \left( \frac{x}{2}, 0, 0 \right)
\]
3. **Определяем направление векторов**:
- Вектор \( DM \):
\[
\vec{DM} = M - D = \left( \frac{3x}{4} - \frac{x}{2}, \frac{x\sqrt{3}}{4} - \frac{x}{2\sqrt{3}}, 0 - \sqrt{\frac{2}{3}}x \right)
\]
Произведем вычисления:
\[
\vec{DM} = \left( \frac{3x}{4} - \frac{2x}{4}, \frac{x\sqrt{3}}{4} - \frac{x\sqrt{3}}{4}, -\sqrt{\frac{2}{3}}x \right) = \left( \frac{x}{4}, 0, -\sqrt{\frac{2}{3}}x \right)
\]
- Вектор \( CL \):
\[
\vec{CL} = L - C = \left( \frac{x}{2} - \frac{x}{2}, 0 - \frac{x\sqrt{3}}{2}, 0 - 0 \right) = \left( 0, -\frac{x\sqrt{3}}{2}, 0 \right)
\]
4. **Проверяем, делит ли плоскость, содержащая прямую \( DM \) и параллельная прямой \( CL \), ребро \( AB \) в отношении \( 3:1 \)**. Сначала найдем точку, делящую \( AB \) на 3 части к точке \( A \):
- Если \( K \) — точка деления:
\[
K = \frac{1}{4}(A) + \frac{3}{4}(B) = \left( \frac{3x}{4}, 0, 0 \right)
\]
Центральная точка \( M \) совпадает по \( x \)-координате с \( K \), что подтверждает, что плоскость делит ребро \( AB \) в отношении \( 3:1 \).
### Часть (б)
1. **Находим угол между векторами \( DM \) и \( CL \)**. Угол \( \theta \) между этими векторами можно найти с помощью скалярного произведения:
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{DM} \cdot \vec{CL}}{|\vec{DM}| |\vec{CL}|}
\]
2. **Вычисляем величины**:
- Скалярное произведение:
\[
\vec{DM} \cdot \vec{CL} = \left( \frac{x}{4} \cdot 0 \right) + \left( 0 \cdot -\frac{x\sqrt{3}}{2} \right) + \left( -\sqrt{\frac{2}{3}}x \cdot 0 \right) = 0
\]
Это значит, что векторы перпендикулярны друг другу.
3. **Следовательно, угол между ними**:
\[
\theta = 90^\circ
\]
### Подводя итог, мы получили:
1. Плоскость, содержащая прямую \( DM \) и параллельная прямой \( CL \), делит ребро \( AB \) в отношении \( 3:1 \).
2. Угол между прямыми \( DM \) и \( CL \) равен \( 90^\circ \).
