Игральные кость бросили 8 раз. какова вероятность, что число 2 выпадет 4 раза? испытание Бернулли

Для решения задачи о вероятности, что число 2 выпадет 4 раза при 8 бросках игральной кости, мы можем использовать концепцию статистики, известную как эксперименты Бернулли. ### Пошаговое решение 1. **Понимание условия задачи**: - У нас есть 8 бросков игральной кости. - Мы ищем вероятность того, что число 2 выпадет именно 4 раза. 2. **Определение элементов задачи**: - Общее число бросков (n) = 8. - Число успешных исходов (k) = 4 (т.е. 4 раза выпало число 2). - Вероятность успеха (p) при каждом броске = 1/6, так как на кубике 6 сторон, и только одна из них — это 2. 3. **Вероятность неуспеха**: - Вероятность не получить число 2 (q) = 1 - p = 1 - 1/6 = 5/6. 4. **Формула для расчета вероятности в испытаниях Бернулли**: Используется биномиальная формула для вычисления вероятности: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где: - \( C(n, k) \) — число сочетаний, которое можно рассчитать по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] - \( n! \) — факториал числа n, - \( p \) — вероятность успеха, - \( q \) — вероятность неуспеха, - \( k \) — число удач, - \( n \) — общее количество попыток. 5. **Подставляем значения**: - \( n = 8 \) - \( k = 4 \) - \( p = \frac{1}{6} \) - \( q = \frac{5}{6} \) Сначала рассчитываем \( C(8, 4) \): \[ C(8, 4) = \frac{8!}{4! \cdot (8-4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70 \] 6. **Вычисляем вероятность**: \[ P(X = 4) = C(8, 4) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{8-4} \] \[ P(X = 4) = 70 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4 \] Теперь подставим значения: \[ P(X = 4) = 70 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{625}{1296} = 70 \cdot \frac{625}{1679616} \] \[ P(X = 4) = \frac{43750}{1679616} \approx 0.0260 \] ### Заключение Таким образом, вероятность того, что число 2 выпадет 4 раза при 8 бросках игральной кости, составляет примерно 0.0260 или 2.60%.