игральные кость бросили 8 раз. какова вероятность, что число 2 выпадет 4 раза? испытание Бернулли
Для решения задачи о вероятности, что число 2 выпадет 4 раза при 8 бросках игральной кости, мы можем использовать концепцию статистики, известную как эксперименты Бернулли.
Пошаговое решение
Понимание условия задачи:
- У нас есть 8 бросков игральной кости.
- Мы ищем вероятность того, что число 2 выпадет именно 4 раза.
Определение элементов задачи:
- Общее число бросков (n) = 8.
- Число успешных исходов (k) = 4 (т.е. 4 раза выпало число 2).
- Вероятность успеха (p) при каждом броске = 1/6, так как на кубике 6 сторон, и только одна из них — это 2.
Вероятность неуспеха:
- Вероятность не получить число 2 (q) = 1 - p = 1 - 1/6 = 5/6.
Формула для расчета вероятности в испытаниях Бернулли: Используется биномиальная формула для вычисления вероятности: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где:
- \( C(n, k) \) — число сочетаний, которое можно рассчитать по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
- \( n! \) — факториал числа n,
- \( p \) — вероятность успеха,
- \( q \) — вероятность неуспеха,
- \( k \) — число удач,
- \( n \) — общее количество попыток.
Подставляем значения:
- \( n = 8 \)
- \( k = 4 \)
- \( p = \frac{1}{6} \)
- \( q = \frac{5}{6} \)
Сначала рассчитываем \( C(8, 4) \): \[ C(8, 4) = \frac{8!}{4! \cdot (8-4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70 \]
Вычисляем вероятность: \[ P(X = 4) = C(8, 4) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{8-4} \] \[ P(X = 4) = 70 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4 \]
Теперь подставим значения: \[ P(X = 4) = 70 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{625}{1296} = 70 \cdot \frac{625}{1679616} \] \[ P(X = 4) = \frac{43750}{1679616} \approx 0.0260 \]
Заключение
Таким образом, вероятность того, что число 2 выпадет 4 раза при 8 бросках игральной кости, составляет примерно 0.0260 или 2.60%.
