Для того чтобы найти объем усеченного конуса, нам нужно воспользоваться формулой объема усеченного конуса:
[
V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)
]
где:
- ( V ) — объем усеченного конуса,
- ( \pi ) — число Пи (примерно 3.14),
- ( h ) — высота усеченного конуса,
- ( R ) — радиус большей базы,
- ( r ) — радиус меньшей базы.
Сначала нам нужно найти высоту ( h ) усеченного конуса, используя его величину образующей ( l ) и радиусы оснований.
По условию задачи:
- ( R = 11 ) см (радиус большей базы),
- ( r = 3 ) см (радиус меньшей базы),
- ( l = 10 ) см (величина образующей).
Для нахождения высоты ( h ) усеченного конуса можно воспользоваться теоремой Пифагора. В прямом усеченном конусе образующая, высота и разность радиусов образуют прямоугольный треугольник. Таким образом, можно записать уравнение:
[
l^2 = h^2 + (R - r)^2
]
Теперь подставим известные значения:
[
10^2 = h^2 + (11 - 3)^2
]
[
100 = h^2 + 8^2
]
[
100 = h^2 + 64
]
[
h^2 = 100 - 64
]
[
h^2 = 36
]
[
h = 6 \text{ см}
]
Теперь, имея все необходимые величины, можно подставить их в формулу для объема:
[
V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)
]
[
V = \frac{1}{3} \pi (6) (11^2 + 11 \cdot 3 + 3^2)
]
[
V = \frac{1}{3} \pi (6) (121 + 33 + 9)
]
[
V = \frac{1}{3} \pi (6) (163)
]
[
V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 163 \pi
]
[
V = 2 \cdot 163 \pi
]
[
V = 326 \pi
]
Теперь подсчитаем численное значение объема, используя ( \pi \approx 3.14 ):
[
V \approx 326 \times 3.14 \approx 1027.64 \text{ см}^3
]
Итак, объем усеченного конуса составляет примерно ( 1027.64 ) см³.
