Найдите значение выражения

Чтобы найти значение выражения \(\frac{3}{\sin 2\alpha}\), если \(\sin \alpha = \frac{2\sqrt{13}}{13}\), воспользуемся формулами для тригонометрических функций. ### Шаг 1: Найти \(\cos \alpha\) Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \] Подставим значение \(\sin \alpha\): \[ \left(\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1. \] Вычислим \(\left(\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)^2\): \[ \frac{4 \times 13}{169} = \frac{52}{169}. \] Следовательно: \[ \frac{52}{169} + \cos^2 \alpha = 1. \] Отсюда находим \(\cos^2 \alpha\): \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{52}{169} = \frac{117}{169}. \] Тогда \(\cos \alpha = \sqrt{\frac{117}{169}} = \frac{\sqrt{117}}{13}\). ### Шаг 2: Найти \(\sin 2\alpha\) Используем формулу для двойного угла: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha. \] Подставим известные значения: \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{2\sqrt{13}}{13} \cdot \frac{\sqrt{117}}{13}. \] Это равняется: \[ \sin 2\alpha = \frac{4\sqrt{13} \sqrt{117}}{169}. \] ### Шаг 3: Найти значение выражения Теперь найдём значение \(\frac{3}{\sin 2\alpha}\): \[ \frac{3}{\sin 2\alpha} = \frac{3 \times 169}{4\sqrt{13} \sqrt{117}}. \] Упрощаем выражение: \[ \frac{3 \times 169}{4\sqrt{13} \sqrt{117}} = \frac{507}{4\sqrt{13} \sqrt{117}}. \] Это значение — искомое. Таким образом, решение подробно раскрыто с использованием тригонометрических преобразований.