Найдите значение выражения

Чтобы найти значение выражения \(\frac{3}{\sin 2\alpha}\), если \(\sin \alpha = \frac{2\sqrt{13}}{13}\), воспользуемся формулами для тригонометрических функций.

Шаг 1: Найти \(\cos \alpha\)

Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \]

Подставим значение \(\sin \alpha\): \[ \left(\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1. \]

Вычислим \(\left(\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)^2\): \[ \frac{4 \times 13}{169} = \frac{52}{169}. \]

Следовательно: \[ \frac{52}{169} + \cos^2 \alpha = 1. \]

Отсюда находим \(\cos^2 \alpha\): \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{52}{169} = \frac{117}{169}. \]

Тогда \(\cos \alpha = \sqrt{\frac{117}{169}} = \frac{\sqrt{117}}{13}\).

Шаг 2: Найти \(\sin 2\alpha\)

Используем формулу для двойного угла: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha. \]

Подставим известные значения: \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{2\sqrt{13}}{13} \cdot \frac{\sqrt{117}}{13}. \]

Это равняется: \[ \sin 2\alpha = \frac{4\sqrt{13} \sqrt{117}}{169}. \]

Шаг 3: Найти значение выражения

Теперь найдём значение \(\frac{3}{\sin 2\alpha}\): \[ \frac{3}{\sin 2\alpha} = \frac{3 \times 169}{4\sqrt{13} \sqrt{117}}. \]

Упрощаем выражение: \[ \frac{3 \times 169}{4\sqrt{13} \sqrt{117}} = \frac{507}{4\sqrt{13} \sqrt{117}}. \]

Это значение — искомое.

Таким образом, решение подробно раскрыто с использованием тригонометрических преобразований.