решить уравнение
Давайте разберем уравнение, указанное под номером 6:
Уравнение:
\[ 2 \sin x = 2 \cos x + \sqrt{6} \]
Решение:
Переносим все члены уравнения в одну сторону:
\[ 2 \sin x - 2 \cos x = \sqrt{6} \]
Упростим, разделив обе стороны уравнения на 2:
\[ \sin x - \cos x = \frac{\sqrt{6}}{2} \]
Используем тригонометрическую идентичность:
\[ \sin x - \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) \]
Это можно записать как:
\[ \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} \sin x - \sin\frac{\pi}{4} \cos x \right) = \frac{\sqrt{6}}{2} \]
Это выражение соответствует следующему виду:
\[ \sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} \]
Выразим \(\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\):
\[ \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Решаем уравнение \(\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\):
Основные решения:
\[ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n \]
\[ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \]
Решение уравнений:
Для первого уравнения:
\[ x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n \]
Для второго уравнения:
\[ x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{11\pi}{12} + 2\pi n \]
Итак, решения уравнения:
\[ x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n \]
\[ x = \frac{11\pi}{12} + 2\pi n \]
где \( n \) — целое число.
