Решить уравнение

Давайте разберем уравнение, указанное под номером 6: ### Уравнение: \[ 2 \sin x = 2 \cos x + \sqrt{6} \] #### Решение: 1. **Переносим все члены уравнения в одну сторону:** \[ 2 \sin x - 2 \cos x = \sqrt{6} \] 2. **Упростим, разделив обе стороны уравнения на 2:** \[ \sin x - \cos x = \frac{\sqrt{6}}{2} \] 3. **Используем тригонометрическую идентичность:** \[ \sin x - \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) \] Это можно записать как: \[ \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} \sin x - \sin\frac{\pi}{4} \cos x \right) = \frac{\sqrt{6}}{2} \] 4. **Это выражение соответствует следующему виду:** \[ \sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} \] 5. **Выразим \(\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\):** \[ \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 6. **Решаем уравнение \(\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\):** Основные решения: \[ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n \] \[ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \] 7. **Решение уравнений:** Для первого уравнения: \[ x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n \] Для второго уравнения: \[ x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{11\pi}{12} + 2\pi n \] Итак, решения уравнения: \[ x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n \] \[ x = \frac{11\pi}{12} + 2\pi n \] где \( n \) — целое число.