Для решения задачи найдем угол между прямыми \( BC_1 \) и \( A_1B_1 \) в кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Рассмотрим куб с заданными координатами.
### Шаг 1: Определение координат вершин
Разместим куб в пространстве так, чтобы его вершины имели следующие координаты (предположим, что длина ребра куба равна 1):
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(1, 0, 0) \)
- \( C(1, 1, 0) \)
- \( D(0, 1, 0) \)
- \( A_1(0, 0, 1) \)
- \( B_1(1, 0, 1) \)
- \( C_1(1, 1, 1) \)
- \( D_1(0, 1, 1) \)
### Шаг 2: Определение векторов
Теперь найдем координаты точек, от которых будем строить векторы:
- Для прямой \( BC_1 \):
- Точка \( B(1, 0, 0) \) и точка \( C_1(1, 1, 1) \).
Находим вектор \( \vec{BC_1} = C_1 - B = (1, 1, 1) - (1, 0, 0) = (0, 1, 1) \).
- Для прямой \( A_1B_1 \):
- Точка \( A_1(0, 0, 1) \) и точка \( B_1(1, 0, 1) \).
Находим вектор \( \vec{A_1B_1} = B_1 - A_1 = (1, 0, 1) - (0, 0, 1) = (1, 0, 0) \).
### Шаг 3: Находим угол между векторами
Для нахождения угла \( \theta \) между двумя векторами \( \vec{v_1} \) и \( \vec{v_2} \) используем формулу:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{||\vec{v_1}|| \cdot ||\vec{v_2}||}
\]
Где \( \vec{v_1} = (0, 1, 1) \) и \( \vec{v_2} = (1, 0, 0) \).
### Шаг 3.1: Находим скалярное произведение
\[
\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0.
\]
### Шаг 3.2: Находим длины векторов
\[
||\vec{v_1}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2},
\]
\[
||\vec{v_2}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1.
\]
### Шаг 4: Находим \( \cos \theta \)
Подставляем в формулу:
\[
\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{2} \cdot 1} = 0.
\]
### Шаг 5: Находим угол
Так как \( \cos \theta = 0 \), это означает, что \( \theta = 90^\circ \).
### Итог
Угол между прямыми \( BC_1 \) и \( A_1B_1 \) равен \( 90^\circ \).
