Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 300 В, влетает в магнитное поле соленоида под углом a = 30° к его оси. Число ампер-витков соленоида рав-но 5000. Длина соленоида l…

Для решения данной задачи, связанной с движением электрона в магнитном поле, нам необходимо учитывать несколько физических понятий: ускорение электрона, его скорость, а также свойства магнитного поля.

Шаг 1: Найти скорость электрона

Электрон ускоряется под действием разности потенциалов \( U = 300 \, \text{В} \). Его начальная энергия при переходе через разность потенциалов равна:

\[ E = e \cdot U \]

где \( e \) — элементарный заряд электрона, приблизительно равный \( 1.6 \times 10^{-19} \, \text{Кл} \).

Подставим значения:

\[ E = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{Кл} \cdot 300 \, \text{В} = 4.8 \times 10^{-17} \, \text{Дж} \]

Энергия электрона также связана с его кинетической энергией:

\[ E = \frac{mv^2}{2} \]

где \( m \) — масса электрона, примерно равная \( 9.11 \times 10^{-31} \, \text{кг} \). Приравняем эти значения для нахождения скорости \( v \):

\[ 4.8 \times 10^{-17} = \frac{9.11 \times 10^{-31} \cdot v^2}{2} \]

Решим это уравнение относительно \( v^2 \):

\[ v^2 = \frac{2 \cdot 4.8 \times 10^{-17}}{9.11 \times 10^{-31}} \\ v^2 = \frac{9.6 \times 10^{-17}}{9.11 \times 10^{-31}} \\ v^2 \approx 1.05 \times 10^{14} \\ v \approx 1.025 \times 10^7 \, \text{м/с} \]

Шаг 2: Рассчитать магнитную индукцию

Магнитная индукция \( B \) соленоида может быть найдена по формуле:

\[ B = \mu_0 \cdot n \cdot I \]

где:

• \( \mu_0 \) — магнитная проницаемость вакуума, равна примерно \( 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл}\cdot\text{м/А} \),
• \( n \) — число витков на единицу длины,
• \( I \) — ток, проходящий через соленоид.

Поскольку \( n = \frac{N}{l} \), где \( N = 5000 \) (число витков) и \( l = 0.25 \, \text{м} \) (длина соленоида), то:

\[ n = \frac{5000}{0.25} = 20000 \, \text{витков/м} \]

Подставим это значение в формулу для \( B \). Необходимо иметь значение тока \( I \), чтобы продолжить. Для упрощения поставим произвольные параметры (после чего вы сможете подставить актуальные значения):

Пусть \( I = 1 \, \text{А} \):

\[ B = 4\pi \times 10^{-7} \cdot 20000 \cdot 1 \approx 2.51 \times 10^{-2} \, \text{Тл} \]

Шаг 3: Найти радиус и шаг винтовой траектории

Электрон движется в магнитном поле. На него действует центростремительное ускорение, если \( \theta = 30^\circ \) (угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции). Проекцию скорости можно определить как:

\[ v_{\perp} = v \cdot \sin(a) = 1.025 \times 10^7 \cdot \sin(30^\circ) = 1.025 \times 10^7 \cdot 0.5 \approx 5.125 \times 10^6 \, \text{м/с} \]

Сила Лоренца, действующая на электрон, будет:

\[ F = e \cdot v_{\perp} \cdot B \]

И подставим значение \( e \):

\[ F = 1.6 \times 10^{-19} \cdot 5.125 \times 10^6 \cdot 2.51 \times 10^{-2} \approx 4.08 \times 10^{-15} \, \text{Н} \]

Теперь определим радиус \( r \) винтовой траектории с использованием:

\[ F = \frac{m v_{\perp}^2}{r} \]

Перепишем уравнение:

\[ r = \frac{m v_{\perp}^2}{F} \]

Где:

\[ r = \frac{9.11 \times 10^{-31} \cdot (5.125 \times 10^6)^2}{4.08 \times 10^{-15}} \approx \frac{2.4 \times 10^{-8}}{4.08 \times 10^{-15}} \approx 5.88 \times 10^6 \, \text{м} \]

Шаг 4: Найти шаг винтовой траектории

Шаг \( s \) можно вычислить как:

\[ s = 2\pi r \cdot \tan(a) \]

Оценим шаг:

\[ s = 2\pi \cdot 5.88 \times 10^6 \cdot \tan(30^\circ) \\ s = 2\pi \cdot 5.88 \times 10^6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 6.77 \times 10^6 \, \text{м} \cdot \frac{1}{1.732} \approx 3.90 \times 10^6 \, \text{м} \]

Однако стоит заметить, что шаг должен быть пересчитан, учитывая правильные значения тока и других параметров, чтобы получить точный шаг винтовой траектории.

Ответ

Для данной задачи шаг винтовой траектории электрона в магнитном поле соленоида приблизительно равен \( s \approx 3.90 \times 10^{6} \, \text{м} \).