Чтобы решить задачу, нужно использовать свойства логарифмов. Рассмотрим, что у нас есть:
- ( m = \log_5 75 )
- ( n = \log_5 4 )
Наша цель — найти значение ( \log_{\sqrt{5}} 12 ).
Помним, что:
[ \log_{\sqrt{5}} 12 = \frac{\log_5 12}{\log_5 \sqrt{5}} ]
Так как ( \log_5 \sqrt{5} = \log_5 (5^{1/2}) = \frac{1}{2} \cdot \log_5 5 = \frac{1}{2} ), то мы можем переписать это выражение:
[
\log_{\sqrt{5}} 12 = \frac{\log_5 12}{\frac{1}{2}} = 2 \log_5 12
]
Теперь нам нужно найти ( \log_5 12 ). Для этого воспользуемся свойствами логарифмов и разложим 12:
[
\log_5 12 = \log_5 (4 \cdot 3) = \log_5 4 + \log_5 3
]
У нас уже есть значение ( n ), поэтому:
[
\log_5 12 = n + \log_5 3
]
Теперь у нас остается найти ( \log_5 3 ). Мы можем использовать то, что ( \log_5 75 = \log_5 (3 \cdot 25) = \log_5 3 + \log_5 25 ). Поскольку ( \log_5 25 = \log_5 (5^2) = 2 ), мы можем выразить ( \log_5 3 ):
[
m = \log_5 75 = \log_5 3 + 2
]
Следовательно:
[
\log_5 3 = m - 2
]
Итак, подставим это значение обратно в ( \log_5 12 ):
[
\log_5 12 = n + (m - 2) = m + n - 2
]
Теперь вернемся к выражению для ( \log_{\sqrt{5}} 12 ):
[
\log_{\sqrt{5}} 12 = 2 \log_5 12 = 2(m + n - 2)
]
Теперь можем записать окончательный ответ:
[
\log_{\sqrt{5}} 12 = 2m + 2n - 4
]
Таким образом, значение ( \log_{\sqrt{5}} 12 ) равно ( 2m + 2n - 4 ).
