постройте график y=x²+2x-8

Для того чтобы построить график функции \( y = x^2 + 2x - 8 \), следуем пошаговому плану. Сначала мы можем определить основные характеристики этой функции, а затем построим график.

Шаг 1: Определение типа функции

Это квадратичная функция, представимая в стандартной форме \( y = ax^2 + bx + c \), где:

• \( a = 1 \)
• \( b = 2 \)
• \( c = -8 \)

Шаг 2: Определение координат вершины параболы

Вершина квадратичной функции находится по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \]

Подставляем значения \( a \) и \( b \): \[ x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \]

Теперь находим соответствующее значение \( y \): \[ y_v = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 8 \] \[ y_v = 1 - 2 - 8 = -9 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \((-1, -9)\).

Шаг 3: Определение осей симметрии

Парабола симметрична относительно вертикальной линии, проходящей через вершину, то есть \( x = -1 \).

Шаг 4: Нахождение корней уравнения

Чтобы найти корни уравнения \( y = 0 \), решаем квадратное уравнение: \[ x^2 + 2x - 8 = 0 \] Используем формулу дискримината: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] Теперь находим корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \] Таким образом, уравнение имеет два корня: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -4 \).

Шаг 5: Построение графика

Теперь мы можем построить график функции:

1. Вершина: \((-1, -9)\)
2. Корни: \( (2, 0) \) и \( (-4, 0) \)
3. Ассимптота: Парабола направлена вверх, так как \( a > 0 \).

Шаг 6: Дополнительные точки

Для более точного графика полезно найти дополнительные точки. Подберите несколько значений \( x \) и вычислите соответствующие значения \( y \). Например:

1. \( x = -2 \): \[ y = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) - 8 = 4 - 4 - 8 = -8 \] Точка: \((-2, -8)\)

2. \( x = 0 \): \[ y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 8 = -8 \] Точка: \( (0, -8) \)

3. \( x = 1 \): \[ y = 1^2 + 2 \cdot 1 - 8 = 1 + 2 - 8 = -5 \] Точка: \( (1, -5) \)

Шаг 7: Построение графика на координатной плоскости

Теперь отмечаем все найденные точки и соединяем их плавной кривой, образуя параболу, направленную вверх.

Итог

График функции \( y = x^2 + 2x - 8 \) представляет собой параболу, которая имеет вершину в точке \((-1, -9)\), два корня в точках \( (-4, 0) \) и \( (2, 0) \) и симметрична относительно прямой \( x = -1 \).