построить график y=2x²+8x+9

Чтобы построить график функции \( y = 2x^2 + 8x + 9 \), следуем пошаговой инструкции:

1. Определяем вид функции

Данная функция является квадратичной, поскольку она имеет форму \( y = ax^2 + bx + c \), где:

• \( a = 2 \)
• \( b = 8 \)
• \( c = 9 \)

2. Находим вершину параболы

Квадратичные функции изображаются в форме параболы. Вершина параболы находится по формуле: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Заменим \( a \) и \( b \): \[ x = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -\frac{8}{4} = -2 \]

Теперь подставляем значение \( x = -2 \) обратно в уравнение, чтобы найти значение \( y \): \[ y = 2(-2)^2 + 8(-2) + 9 \] \[ y = 2 \cdot 4 - 16 + 9 = 8 - 16 + 9 = 1 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (-2, 1) \).

3. Определяем направление открытия параболы

Так как коэффициент \( a = 2 \) положительный, парабола открывается вверх.

4. Находим корни функции

Для нахождения корней уравнения \( 2x^2 + 8x + 9 = 0 \) используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 64 - 72 = -8 \]

Так как дискриминант меньше нуля (\( D < 0 \)), корней нет. Это также подтверждает, что парабола не пересекает ось \( x \).

5. Находим значение функции для нескольких \( x \)

Чтобы построить график, необходимо вычислить значения функции для разных значений \( x \):

• Для \( x = -4 \): \[ y = 2(-4)^2 + 8(-4) + 9 = 32 - 32 + 9 = 9 \]
• Для \( x = 0 \): \[ y = 2(0)^2 + 8(0) + 9 = 9 \]
• Для \( x = 2 \): \[ y = 2(2)^2 + 8(2) + 9 = 8 + 16 + 9 = 33 \]

6. Составляем таблицу значений

Теперь у нас есть несколько точек:

• \( (-4, 9) \)
• \( (-2, 1) \)
• \( (0, 9) \)
• \( (2, 33) \)

7. Построение графика

На координатной плоскости отметьте точки:

• Вершина \( (-2, 1) \)
• Точки \( (-4, 9) \) и \( (0, 9) \) показывают, что \( y \) равен 9 на двух разных значениях \( x \).
• Точка \( (2, 33) \) указывает, что функция растет.

Соединив полученные точки, вы получите график функции, который будет представлять собой параболу, открывающуюся вверх, с вершиной в точке \( (-2, 1) \).

Вот и все! Теперь вы знаете, как построить график функции \( y = 2x^2 + 8x + 9 \).