1. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) внешний угол ВСК равен 150. Найдите угол АВС. 2. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена биссектриса BD. Найдите…

1. В равнобедренном треугольнике ABC, где AB = BC, внешний угол \( \angle BCK \) равен 150°. Чтобы найти угол \( \angle ABC \), используем свойство внешнего угла: внешний угол равен сумме неприлежащих внутренних углов. В данном случае:

\[ \angle BCK = \angle CAB + \angle ABC \]

Обозначим \( \angle ABC = x \). Поскольку треугольник равнобедренный, то \( \angle CAB = x \) тоже (так как AB = BC).

Тогда у нас получается:

\[ 150° = x + x \]

или

\[ 150° = 2x \]

Решим это уравнение:

\[ x = \frac{150°}{2} = 75° \]

Таким образом, угол \( \angle ABC = 75° \).

2. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, в котором проведена биссектрисса BD, угол \( \angle CBD = 20° \). Углы, образованные биссектрисой, равны:

\[ \angle ABD = \angle CBD = 20° \]

Обозначим угол \( \angle ACB = y \). Так как в прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°, мы можем записать:

\[ \angle ABC + \angle ACB + \angle A = 180° \] где \( \angle A = 90° \).

Подставим известные значения:

\[ \angle ABC + y + 90° = 180° \]

Отсюда находим:

\[ \angle ABC + y = 90° \]

Так как \( \angle ABC \) делится пополам чулком BD, можем выразить \( \angle ABC \) через \( y \):

\[ \angle ABC = 90° - y \]

И подставим это в полученное уравнение:

\[ (90° - y) + y = 90° \]

Это уравнение является верным для всех \( y \), которые находятся в диапазоне от 0 до 90°, и не добавляет информации. Решим с точки зрения угла A, где мы знаем \( \angle CBD = 20° \):

\[ \angle A = 90° - \angle ABD - \angle ACB \]

Значит \( \angle ABD + \angle ACB = 90° \).

Поскольку угол ABD = 20°, то:

\[ 20° + \angle ACB = 90° \]

Следовательно:

\[ \angle ACB = 70° \]

Таким образом, у нас есть:

• Угол \( \angle ABD = 20° \)
• Угол \( \angle ACB = 70° \)
• Угол \( \angle A = 90° \)

Углы треугольника ABD:

• Угол \( \angle ADB = 70° \)
• Угол \( \angle ABD = 20° \)
• Угол \( \angle A = 90° \) (прямой угол в треугольнике ABC)

Итак, ответ:

• Углы треугольника ABD: 20°, 70°, 90°.