Найдите корень уравнения log 3 ( x - 1 ) = log 3 ( x + 5 ) - 2 .

Для решения уравнения \( \log_3(x - 1) = \log_3(x + 5) - 2 \) будем следовать по шагам и использовать свойства логарифмов. ### Шаг 1: Переписываем уравнение Мы начнем с того, чтобы изолировать логарифмы с одной стороны. Уравнение можно записать так: \[ \log_3(x - 1) = \log_3(x + 5) - 2 \] ### Шаг 2: Используем свойства логарифмов Напомним, что логарифмы подчиняются свойству: \( \log_a(b) - c = \log_a\left(\frac{b}{a^c}\right) \). В данном случае \( a = 3, b = x + 5, c = 2 \). Таким образом, мы можем переписать правую часть: \[ \log_3(x + 5) - 2 = \log_3\left(\frac{x + 5}{3^2}\right) = \log_3\left(\frac{x + 5}{9}\right) \] Теперь у нас есть: \[ \log_3(x - 1) = \log_3\left(\frac{x + 5}{9}\right) \] ### Шаг 3: Убираем логарифмы Так как логарифмы равны, мы можем приравнять их аргументы: \[ x - 1 = \frac{x + 5}{9} \] ### Шаг 4: Умножаем на 9 Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на 9: \[ 9(x - 1) = x + 5 \] ### Шаг 5: Раскрываем скобки Теперь раскроем скобки: \[ 9x - 9 = x + 5 \] ### Шаг 6: Переносим все переменные на одну сторону Переносим все \(x\) на одну сторону, а константы на другую: \[ 9x - x = 5 + 9 \] Это упрощается до: \[ 8x = 14 \] ### Шаг 7: Находим \(x\) Теперь делим обе стороны на 8: \[ x = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} \] ### Шаг 8: Проверяем решение Проверим, действительно ли \(x = \frac{7}{4}\) является решением исходного уравнения. Подставляем значение: 1. Находим \(x - 1\) и \(x + 5\): \[ x - 1 = \frac{7}{4} - 1 = \frac{7}{4} - \frac{4}{4} = \frac{3}{4} \] \[ x + 5 = \frac{7}{4} + 5 = \frac{7}{4} + \frac{20}{4} = \frac{27}{4} \] 2. Теперь находим логарифмы: \[ \log_3\left(\frac{3}{4}\right) \quad \text{и} \quad \log_3\left(\frac{27}{4}\right) - 2 \] 3. Проверим равенство: \[ \log_3\left(\frac{3}{4}\right) \stackrel{?}{=} \log_3\left(\frac{27}{4}\right) - 2 \] Сначала вычтем 2 (помним, что это то же самое, что \( - \log_3(9) \)): \[ \log_3\left(\frac{27}{4 \times 9}\right) = \log_3\left(\frac{27}{36}\right) \] Это верно, так как: \[ \frac{27}{36} = \frac{3}{4} \] ### Заключение Корень уравнения \( \log_3(x - 1) = \log_3(x + 5) - 2 \) равен: \[ \boxed{\frac{7}{4}} \]