Найдите корень уравнения log 3 ( x - 1 ) = log 3 ( x + 5 ) - 2 .
Для решения уравнения \( \log_3(x - 1) = \log_3(x + 5) - 2 \) будем следовать по шагам и использовать свойства логарифмов.
Шаг 1: Переписываем уравнение
Мы начнем с того, чтобы изолировать логарифмы с одной стороны. Уравнение можно записать так:
\[ \log_3(x - 1) = \log_3(x + 5) - 2 \]
Шаг 2: Используем свойства логарифмов
Напомним, что логарифмы подчиняются свойству: \( \log_a(b) - c = \log_a\left(\frac{b}{a^c}\right) \). В данном случае \( a = 3, b = x + 5, c = 2 \).
Таким образом, мы можем переписать правую часть:
\[ \log_3(x + 5) - 2 = \log_3\left(\frac{x + 5}{3^2}\right) = \log_3\left(\frac{x + 5}{9}\right) \]
Теперь у нас есть:
\[ \log_3(x - 1) = \log_3\left(\frac{x + 5}{9}\right) \]
Шаг 3: Убираем логарифмы
Так как логарифмы равны, мы можем приравнять их аргументы:
\[ x - 1 = \frac{x + 5}{9} \]
Шаг 4: Умножаем на 9
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на 9:
\[ 9(x - 1) = x + 5 \]
Шаг 5: Раскрываем скобки
Теперь раскроем скобки:
\[ 9x - 9 = x + 5 \]
Шаг 6: Переносим все переменные на одну сторону
Переносим все \(x\) на одну сторону, а константы на другую:
\[ 9x - x = 5 + 9 \]
Это упрощается до:
\[ 8x = 14 \]
Шаг 7: Находим \(x\)
Теперь делим обе стороны на 8:
\[ x = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} \]
Шаг 8: Проверяем решение
Проверим, действительно ли \(x = \frac{7}{4}\) является решением исходного уравнения. Подставляем значение:
Находим \(x - 1\) и \(x + 5\): \[ x - 1 = \frac{7}{4} - 1 = \frac{7}{4} - \frac{4}{4} = \frac{3}{4} \] \[ x + 5 = \frac{7}{4} + 5 = \frac{7}{4} + \frac{20}{4} = \frac{27}{4} \]
Теперь находим логарифмы: \[ \log_3\left(\frac{3}{4}\right) \quad \text{и} \quad \log_3\left(\frac{27}{4}\right) - 2 \]
Проверим равенство: \[ \log_3\left(\frac{3}{4}\right) \stackrel{?}{=} \log_3\left(\frac{27}{4}\right) - 2 \]
Сначала вычтем 2 (помним, что это то же самое, что \( - \log_3(9) \)): \[ \log_3\left(\frac{27}{4 \times 9}\right) = \log_3\left(\frac{27}{36}\right) \] Это верно, так как: \[ \frac{27}{36} = \frac{3}{4} \]
Заключение
Корень уравнения \( \log_3(x - 1) = \log_3(x + 5) - 2 \) равен:
\[ \boxed{\frac{7}{4}} \]
