Для того чтобы решить задачу по нахождению производной от функции ((x^2 - y^2)^5), воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (правило цепочки).
Шаг 1: Обозначим функцию
Пусть ( u = x^2 - y^2 ). Тогда наша функция примет вид:
[
f(u) = u^5
]
Шаг 2: Применяем правило цепочки
Согласно правилу цепочки, производная (f(u)) по (x) будет равна произведению производной (f) по (u) на производную (u) по (x):
[
\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}
]
Шаг 3: Находим производную (f) по (u)
Первым делом найдем производную функции (f(u) = u^5):
[
\frac{df}{du} = 5u^4
]
Шаг 4: Находим производную (u) по (x)
Теперь найдем производную (u = x^2 - y^2) по (x):
[
\frac{du}{dx} = 2x - 0 = 2x
]
(поскольку (y) считается константой при дифференцировании по (x)).
Шаг 5: Составляем окончательную формулу
Теперь подставляем все найденные производные в формулу для производной (f(x)):
[
\frac{df}{dx} = 5u^4 \cdot 2x
]
И заменяем (u) обратно на (x^2 - y^2):
[
\frac{df}{dx} = 5(x^2 - y^2)^4 \cdot 2x
]
Шаг 6: Упрощаем
Упростим итоговый результат:
[
\frac{df}{dx} = 10x(x^2 - y^2)^4
]
Ответ
Таким образом, производная функции ((x^2 - y^2)^5) по (x) равна:
[
\frac{d}{dx}((x^2 - y^2)^5) = 10x(x^2 - y^2)^4
]
Если будут вопросы по конкретным шагам или необходимы дополнительные пояснения, пожалуйста, дайте знать!
