Чему равен косинус угла между векторами d → { − 1 ; 4 } d {−1;4} и f → { 3 ; 6 } f ​ {3;6} ?

Для того чтобы найти косинус угла между двумя векторами \( \vec{d} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} \) и \( \vec{f} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} \), воспользуемся формулой:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{d} \cdot \vec{f}}{|\vec{d}| |\vec{f}|} \]

где \( \vec{d} \cdot \vec{f} \) — скалярное произведение векторов, \( |\vec{d}| \) и \( |\vec{f}| \) — длины (модули) векторов.

Шаг 1: Вычисление скалярного произведения

Скалярное произведение двух векторов рассчитывается по формуле:

\[ \vec{d} \cdot \vec{f} = d_1 \cdot f_1 + d_2 \cdot f_2 \]

Подставляем значения:

\[ \vec{d} \cdot \vec{f} = (-1) \cdot 3 + 4 \cdot 6 \]

\[ \vec{d} \cdot \vec{f} = -3 + 24 = 21 \]

Шаг 2: Вычисление длины векторов

Длина (модуль) вектора \(\vec{d}\) рассчитывается по формуле:

\[ |\vec{d}| = \sqrt{d_1^2 + d_2^2} \]

Подставляем значения для вектора \(\vec{d}\):

\[ |\vec{d}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \]

Теперь найдём длину вектора \(\vec{f}\):

\[ |\vec{f}| = \sqrt{f_1^2 + f_2^2} \]

Подставляем значения для вектора \(\vec{f}\):

\[ |\vec{f}| = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} \]

Шаг 3: Подставление значений в формулу для косинуса

Теперь у нас есть значения для косинуса угла:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{d} \cdot \vec{f}}{|\vec{d}| |\vec{f}|} = \frac{21}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{45}} \]

Шаг 4: Упрощение выражения

Умножим модули:

\[ |\vec{d}| |\vec{f}| = \sqrt{17} \cdot \sqrt{45} = \sqrt{17 \cdot 45} = \sqrt{765} \]

Теперь подставим это значение:

\[ \cos(\theta) = \frac{21}{\sqrt{765}} \]

Финальный ответ

Косинус угла между векторами \( \vec{d} \) и \( \vec{f} \) равен:

\[ \cos(\theta) = \frac{21}{\sqrt{765}} \approx 0.758 \]

На этом этапе вы поняли, как вычисляется косинус угла между двумя векторами, используя формулы для скалярного произведения и длины векторов.