1. Решите неравенство: 2) a) (x + 5) (x - 6) (x - 17) > 0; b) (x²+ 4) (x + 4) (x - 8) < 0;

Давайте решим оба неравенства по шагам.

a) \( (x + 5)(x - 6)(x - 17) > 0 \)

Шаг 1: Найдем нули выражения. Нули находятся, когда каждое из множителей равно нулю:

1. \( x + 5 = 0 \) → \( x = -5 \)
2. \( x - 6 = 0 \) → \( x = 6 \)
3. \( x - 17 = 0 \) → \( x = 17 \)

Таким образом, нули: \( x = -5, 6, 17 \).

Шаг 2: Разобьем числовую прямую на интервалы. Нули делят числовую прямую на следующие интервалы:

1. \( (-\infty, -5) \)
2. \( (-5, 6) \)
3. \( (6, 17) \)
4. \( (17, +\infty) \)

Шаг 3: Проверим знак выражения в каждом интервале. Для этого выберем тестовые точки в каждом интервале:

1. \( x = -6 \) (в интервале \( (-\infty, -5) \)): \[ (-6 + 5)(-6 - 6)(-6 - 17) = (-1)(-12)(-23) < 0 \]

2. \( x = 0 \) (в интервале \( (-5, 6) \)): \[ (0 + 5)(0 - 6)(0 - 17) = (5)(-6)(-17) > 0 \]

3. \( x = 10 \) (в интервале \( (6, 17) \)): \[ (10 + 5)(10 - 6)(10 - 17) = (15)(4)(-7) < 0 \]

4. \( x = 18 \) (в интервале \( (17, +\infty) \)): \[ (18 + 5)(18 - 6)(18 - 17) = (23)(12)(1) > 0 \]

Шаг 4: Определим, где выражение больше нуля. Полученные знаки:

• \( (-\infty, -5) \): < 0
• \( (-5, 6) \): > 0
• \( (6, 17) \): < 0
• \( (17, +\infty) \): > 0

Значит \( (x + 5)(x - 6)(x - 17) > 0 \) в промежутках: \[ (-5, 6) \quad \text{и} \quad (17, +\infty) \]

Шаг 5: Записать ответ. Ответ для a): \[ x \in (-5, 6) \cup (17, +\infty) \]

b) \( (x^2 + 4)(x + 4)(x - 8) < 0 \)

Шаг 1: Определим нули выражения. Нули находятся, когда каждый из множителей равен нулю:

1. \( x^2 + 4 = 0 \) → нет действительных корней, так как \( x^2 + 4 > 0 \) для всех \( x \).
2. \( x + 4 = 0 \) → \( x = -4 \)
3. \( x - 8 = 0 \) → \( x = 8 \)

Таким образом, нули: \( x = -4, 8 \).

Шаг 2: Разобьем числовую прямую на интервалы. Нули делят числовую прямую на следующие интервалы:

1. \( (-\infty, -4) \)
2. \( (-4, 8) \)
3. \( (8, +\infty) \)

Шаг 3: Проверим знак выражения в каждом интервале. Для этого выберем тестовые точки в каждом интервале:

1. \( x = -5 \) (в интервале \( (-\infty, -4) \)): \[ ((-5)^2 + 4)(-5 + 4)(-5 - 8) = (25 + 4)(-1)(-13) > 0 \]

2. \( x = 0 \) (в интервале \( (-4, 8) \)): \[ (0^2 + 4)(0 + 4)(0 - 8) = (0 + 4)(4)(-8) < 0 \]

3. \( x = 9 \) (в интервале \( (8, +\infty) \)): \[ (9^2 + 4)(9 + 4)(9 - 8) = (81 + 4)(13)(1) > 0 \]

Шаг 4: Определим, где выражение меньше нуля. Полученные знаки:

• \( (-\infty, -4) \): > 0
• \( (-4, 8) \): < 0
• \( (8, +\infty) \): > 0

Так что \( (x^2 + 4)(x + 4)(x - 8) < 0 \) в промежутке: \[ (-4, 8) \]

Шаг 5: Записать ответ. Ответ для b): \[ x \in (-4, 8) \]

Итог:

a) \( x \in (-5, 6) \cup (17, +\infty) \)

b) \( x \in (-4, 8) \)