Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если длину увеличить на 6 дм, а ширину—на 2дм, то площадь его увеличиться на 48дм². Найдите длину и ширину прямоугольника

Для решения данной задачи, начнем с определения переменных и создания уравнений на основе условий из задачи.

Шаг 1: Определим переменные

Пусть:

• w — ширина прямоугольника (в дм).
• l — длина прямоугольника. По условию задачи: длина в 3 раза больше ширины, т.е. \( l = 3w \).

Шаг 2: Найдем новую длину и ширину

Согласно условию, длину увеличивают на 6 дм, а ширину — на 2 дм:

• Новая длина: \( l + 6 = 3w + 6 \)
• Новая ширина: \( w + 2 \)

Шаг 3: Выразим площади

• Исходная площадь прямоугольника (P1): \[ P1 = l \cdot w = (3w) \cdot w = 3w^2 \]

• Новая площадь прямоугольника (P2): \[ P2 = (l + 6)(w + 2) = (3w + 6)(w + 2) \]

Шаг 4: Найдем значение новой площади

Раскроем скобки в выражении для P2: \[ P2 = (3w + 6)(w + 2) = 3w^2 + 6w + 6w + 12 = 3w^2 + 12w + 12 \]

Шаг 5: Запишем уравнение для увеличения площади

По условию задачи, площадь увеличилась на 48 дм², значит: \[ P2 - P1 = 48 \] Подставим выражения для площадей: \[ (3w^2 + 12w + 12) - 3w^2 = 48 \] Упрощаем уравнение: \[ 12w + 12 = 48 \]

Шаг 6: Решим уравнение

Вычтем 12 из обеих сторон: \[ 12w = 48 - 12 \] \[ 12w = 36 \] Теперь разделим обе стороны на 12: \[ w = 3 \]

Шаг 7: Найдем длину

Теперь, зная ширину, найдем длину: \[ l = 3w = 3 \cdot 3 = 9 \]

Итог

Таким образом, ширина прямоугольника составляет 3 дм, а длина — 9 дм.

Ответ

Ширина: 3 дм; Длина: 9 дм.