Для решения этой задачи разберем шаг за шагом, как вычислить угол ( \angle PKN ) в указанном прямоугольном треугольнике и разберем отношения углов.
Данные задачи:
- ( \triangle CDK ) — прямоугольный треугольник.
- Гипотенуза ( CD ).
- Высота ( KN ) к гипотенузе ( CD ).
- Биссектрису ( KP ) проведена.
Известно, что:
- Угол ( \angle KDS = 49^\circ ).
Определения и свойства:
- Прямоугольный треугольник: В прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°. Один из углов равен 90°.
- Углы в треугольниках:
- В ( \triangle CDK ) мы имеем угол ( \angle KDC = 90^\circ ) (прямой угол).
- Угол ( \angle KDS = 49^\circ ).
Шаг 1: Найдем угол ( \angle KCD )
В прямоугольном треугольнике сумма углов равна:
[
\angle KDC + \angle KDS + \angle KCD = 180^\circ
]
Подставим известные значения:
[
90^\circ + 49^\circ + \angle KCD = 180^\circ
]
[
\angle KCD = 180^\circ - 90^\circ - 49^\circ = 41^\circ
]
Шаг 2: Рассмотрим два прямоугольных треугольника
У нас есть прямоугольные треугольники:
- ( \triangle DKS )
- ( \triangle KCN )
Так как линия биссектрисы ( KP ) делит угол ( KDC ) пополам, то:
[
\angle PKC = \angle KCD / 2 = 41^\circ / 2 = 20.5^\circ
]
Шаг 3: Найдем углы в ( \triangle KCN )
Так как ( KP ) — биссектрисса, она делит ( \angle KCD ) пополам и ( \angle PKC = 20.5^\circ ).
Шаг 4: Найдем угол ( \angle PKN )
В прямоугольном треугольнике ( KCN ) также:
[
\angle KCN + \angle KNC = 90^\circ
]
Здесь ( \angle KCN = \angle PKC = 20.5^\circ ), а значит:
[
\angle KNC = 90^\circ - 20.5^\circ = 69.5^\circ
]
Наконец, найдем угол ( \angle PKN )
Угол ( PKN ) является дополнением:
[
\angle PKN = 90^\circ - \angle KNC = 90^\circ - 69.5^\circ = 20.5^\circ
]
Ответ
Таким образом, градусная мера угла ( \angle PKN ) равна ( 20.5^\circ ).
