На заводе производятся детали трех типов: A, B и C. Вероятность того, что случайно выбранная деталь будет иметь дефект, для типа A составляет 0,05; для типа B - 0,03; для типа C -…
На заводе производятся детали трех типов: A, B и C. Вероятность того, что случайно выбранная деталь будет иметь дефект, для типа A составляет 0,05; для типа B - 0,03; для типа C - 0,02. В партии из 1000 деталей содержится 400 деталей типа A, 300 типа B и 300 типа C. Какова вероятность того, что выбранная дефектная деталь окажется типа A
Чтобы решить задачу, давайте обозначим некоторые события и используем формулу условной вероятности.
Обозначим события:
- \(D\) — событие, что деталь дефектная.
- \(A\) — событие, что деталь типа A.
- \(B\) — событие, что деталь типа B.
- \(C\) — событие, что деталь типа C.
Даны вероятности:
- Вероятность дефекта для детали типа A: \(P(D|A) = 0.05\)
- Вероятность дефекта для детали типа B: \(P(D|B) = 0.03\)
- Вероятность дефекта для детали типа C: \(P(D|C) = 0.02\)
Общее количество деталей:
- Всего деталей: \(1000\)
- Количество деталей типа A: \(400\)
- Количество деталей типа B: \(300\)
- Количество деталей типа C: \(300\)
Находим общее количество дефектных деталей:
- Дефектные детали типа A: \(400 \times 0.05 = 20\)
- Дефектные детали типа B: \(300 \times 0.03 = 9\)
- Дефектные детали типа C: \(300 \times 0.02 = 6\)
Общее количество дефектных деталей: \[ N(D) = 20 + 9 + 6 = 35 \]
Теперь можем найти вероятность того, что выбранная дефектная деталь окажется типа A:
Мы ищем условную вероятность \(P(A|D)\), которая определяется по формуле Байеса: \[ P(A|D) = \frac{P(D|A) \cdot P(A)}{P(D)} \]
Чтобы использовать эту формулу, нам нужно:
Найти \(P(A)\): вероятность того, что случайно выбранная деталь — это деталь типа A. Это делается как: \[ P(A) = \frac{400}{1000} = 0.4 \]
Найти \(P(D)\): общая вероятность того, что деталь дефектная. Это сумма вероятностей дефекта для каждого типа взглядя на их распределение: \[ P(D) = P(D|A) \cdot P(A) + P(D|B) \cdot P(B) + P(D|C) \cdot P(C) \] Где:
\(P(B) = \frac{300}{1000} = 0.3\)
\(P(C) = \frac{300}{1000} = 0.3\)
Подставляем значения: \[ P(D) = 0.05 \cdot 0.4 + 0.03 \cdot 0.3 + 0.02 \cdot 0.3 = 0.02 + 0.009 + 0.006 = 0.035 \]
Подставляем значения в формулу для \(P(A|D)\): \[ P(A|D) = \frac{0.05 \cdot 0.4}{0.035} = \frac{0.02}{0.035} \approx 0.5714 \]
Значит, вероятность того, что выбранная дефектная деталь окажется типа A, составляет примерно 57.14%.
