Для решения задачи, давайте сначала разберёмся с силами, действующими на брусок и груз, а затем найдем минимальную и максимальную массу груза, при которых брусок останется неподвижным.
Данные задачи
- Масса бруска ( m = 400 ) г
- Угол наклона ( \alpha = 30^\circ )
- Коэффициент трения ( \mu \approx 0,29 )
Силы, действующие на брусок
Сила тяжести ( F_g ), действующая вниз:
[
F_g = m \cdot g
]
где ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно ( 9.81 , \text{м/с}^2 )).
Сила нормального давления ( N ):
[
N = F_g \cdot \cos(\alpha) = m \cdot g \cdot \cos(30^\circ)
]
Сила трения ( F_t ):
[
F_t = \mu \cdot N = \mu \cdot (m \cdot g \cdot \cos(30^\circ))
]
Сила натяжения нити ( T ): она направлена вверх.
Сила, действующая в горизонтальном направлении из-за массы груза ( M ):
[
F_M = M \cdot g
]
Уравнения движения
Когда брусок неподвижен, сумма сил в горизонтальном и вертикальном направлениях равна нулю.
В вертикальном направлении:
Сила тяжести бруска уравновешивается силой натяжения нити и силой трения:
[
T + F_t = F_g
]
В горизонтальном направлении:
Сила натяжения нити также уравновешивается силой тяжести груза:
[
T = M \cdot g
]
Подстановка и комбинирование
Подставляем ( T ) из второго уравнения в первое уравнение:
[
M \cdot g + \mu \cdot (m \cdot g \cdot \cos(30^\circ)) = m \cdot g
]
Теперь все силы в уравнении заменим:
[
M \cdot g = m \cdot g - \mu \cdot (m \cdot g \cdot \cos(30^\circ))
]
Упрощаем:
[
M = m - \mu \cdot m \cdot \cos(30^\circ)
]
Расчет максимальной массы груза
Это у нас выражает максимальную массу ( M_{max} ):
[
M_{max} = m(1 - \mu \cdot \cos(30^\circ))
]
Теперь подставим значения:
[
\mu = 0.29, \quad \cos(30^\circ) \approx 0.866
]
[
M_{max} = 400(1 - 0.29 \cdot 0.866)
]
Считаем:
[
M_{max} \approx 400(1 - 0.2502) \approx 400(0.7498) \approx 299.92 \text{ г}
]
Расчет минимальной массы груза
Для минимальной массы груза ( M_{min} ) можно использовать аналогичное уравнение:
[
M_{min} = m(\mu \cdot \cos(30^\circ))
]
Подставляем значения:
[
M_{min} = 400(0.29 \cdot 0.866)
]
Считаем:
[
M_{min} \approx 400(0.2502) \approx 100.08 \text{ г}
]
Ответ
Итак, минимальная и максимальная массы груза, округлённые до целых чисел:
- ( M_{min} \approx 100 \text{ г} )
- ( M_{max} \approx 300 \text{ г} )
Запишите ответ в произвольном порядке:
