Брусок массой m=400 г удерживают на наклонной поверхности неподвижного клина, составляющей угол α=30∘ с горизонтом. Невесомая нерастяжимая нить, перекинутая через неподвижный и…
Брусок массой m=400 г удерживают на наклонной поверхности неподвижного клина, составляющей угол α=30∘ с горизонтом. Невесомая нерастяжимая нить, перекинутая через неподвижный и подвижный блоки, соединяет брусок с потолком помещения. Найдите минимальную и максимальную массу груза, прикреплённого к оси подвижного блока, при которых после аккуратного отпускания брусок может остаться неподвижным, и запишите в поля ответа в любом порядке. Коэффициент трения между бруском и наклонной поверхностью μ=123√≈0,29 . Оба блока невесомые и вращаются без трения. Ответ выразите в граммах, округлив до целого числа.
Для решения задачи, давайте сначала разберёмся с силами, действующими на брусок и груз, а затем найдем минимальную и максимальную массу груза, при которых брусок останется неподвижным.
Данные задачи
- Масса бруска \( m = 400 \) г
- Угол наклона \( \alpha = 30^\circ \)
- Коэффициент трения \( \mu \approx 0,29 \)
Силы, действующие на брусок
Сила тяжести \( F_g \), действующая вниз: \[ F_g = m \cdot g \] где \( g \) — ускорение свободного падения (приблизительно \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \)).
Сила нормального давления \( N \): \[ N = F_g \cdot \cos(\alpha) = m \cdot g \cdot \cos(30^\circ) \]
Сила трения \( F_t \): \[ F_t = \mu \cdot N = \mu \cdot (m \cdot g \cdot \cos(30^\circ)) \]
Сила натяжения нити \( T \): она направлена вверх.
Сила, действующая в горизонтальном направлении из-за массы груза \( M \): \[ F_M = M \cdot g \]
Уравнения движения
Когда брусок неподвижен, сумма сил в горизонтальном и вертикальном направлениях равна нулю.
В вертикальном направлении:
Сила тяжести бруска уравновешивается силой натяжения нити и силой трения: \[ T + F_t = F_g \]
В горизонтальном направлении:
Сила натяжения нити также уравновешивается силой тяжести груза: \[ T = M \cdot g \]
Подстановка и комбинирование
Подставляем \( T \) из второго уравнения в первое уравнение: \[ M \cdot g + \mu \cdot (m \cdot g \cdot \cos(30^\circ)) = m \cdot g \]
Теперь все силы в уравнении заменим: \[ M \cdot g = m \cdot g - \mu \cdot (m \cdot g \cdot \cos(30^\circ)) \]
Упрощаем: \[ M = m - \mu \cdot m \cdot \cos(30^\circ) \]
Расчет максимальной массы груза
Это у нас выражает максимальную массу \( M_{max} \): \[ M_{max} = m(1 - \mu \cdot \cos(30^\circ)) \]
Теперь подставим значения: \[ \mu = 0.29, \quad \cos(30^\circ) \approx 0.866 \] \[ M_{max} = 400(1 - 0.29 \cdot 0.866) \] Считаем: \[ M_{max} \approx 400(1 - 0.2502) \approx 400(0.7498) \approx 299.92 \text{ г} \]
Расчет минимальной массы груза
Для минимальной массы груза \( M_{min} \) можно использовать аналогичное уравнение: \[ M_{min} = m(\mu \cdot \cos(30^\circ)) \] Подставляем значения: \[ M_{min} = 400(0.29 \cdot 0.866) \] Считаем: \[ M_{min} \approx 400(0.2502) \approx 100.08 \text{ г} \]
Ответ
Итак, минимальная и максимальная массы груза, округлённые до целых чисел:
- \( M_{min} \approx 100 \text{ г} \)
- \( M_{max} \approx 300 \text{ г} \)
Запишите ответ в произвольном порядке:
- 100 г, 300 г
