Для решения данной задачи мы используем формулу для биномиального распределения, так как это типичная задача, связанная с вероятностью успеха или неудачи в независимых испытаниях.
Основная информация:
- Обозначим:
- ( n ) — общее количество бросков, равное 6.
- ( k ) — количество успешных бросков (попаданий), в нашем случае ( k = 3 ).
- ( p ) — вероятность успеха (попадания при каждом броске), равная 0,4.
- ( q ) — вероятность неудачи, которая равна ( 1 - p = 1 - 0,4 = 0,6 ).
Формула биномиального распределения:
Вероятность того, что событие произойдет ровно ( k ) раз из ( n ) испытаний, описывается следующей формулой:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, вычисляемый по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Шаги решения:
- Вычисляем биномиальный коэффициент ( C(6, 3) ):
[
C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20
]
- Вычисляем ( p^k ):
[
p^3 = (0,4)^3 = 0,064
]
- Вычисляем ( q^{n-k} ):
[
q^{6-3} = (0,6)^3 = 0,216
]
- Теперь подставим все найденные значения в формулу:
[
P(X = 3) = C(6, 3) \cdot p^3 \cdot q^{3} = 20 \cdot 0,064 \cdot 0,216
]
- Выполняем умножение:
[
P(X = 3) = 20 \cdot 0,064 = 1,28
]
[
P(X = 3) = 1,28 \cdot 0,216 = 0,27648
]
Округление результата:
Округлим полученный результат до тысячных:
[
P(X = 3) \approx 0,276
]
Ответ:
Вероятность того, что баскетболист попадёт в корзину ровно 3 раза, равна ( 0,276 ).
