Построй график функции у =-3+ x-4/ 4х- х2 и определи наименьшее значение т, при котором прямая у = m не имеет с графиком общих точек.
Решим задачу поэтапно.
Шаг 1: Понять задачу
Нам нужно построить график функции:
\[ y = -3 + \frac{x - 4}{4x - x^2} \]
После этого, мы должны определить наименьшее значение \(m\) такой прямой \(y = m\), которая не пересекает график функции, то есть не имеет с ним общих точек.
Шаг 2: Упрощение функции
Упростим функцию:
\[ y = -3 + \frac{x - 4}{4x - x^2} \]
Функция имеет дробь, давайте её упростим. Перепишем её в более понятном виде:
\[ y = -3 + \frac{x - 4}{-(x^2 - 4x)} \]
Шаг 3: Определим область определения функции
Домен функции также нужно определить: дробь имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю. Подсчитаем, когда \(4x - x^2 = 0\).
\[ x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0 \implies x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 \]
Таким образом, область определения функции:
\[ x \in (-\infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, +\infty) \]
Шаг 4: Построение графика
Для построения графика нужно найти несколько точек:
Для \(x = 1\): \[ y(1) = -3 + \frac{1 - 4}{4 \cdot 1 - 1^2} = -3 + \frac{-3}{3} = -3 - 1 = -4 \]
Для \(x = 2\): \[ y(2) = -3 + \frac{2 - 4}{4 \cdot 2 - 2^2} = -3 + \frac{-2}{8 - 4} = -3 - \frac{2}{4} = -3 - 0.5 = -3.5 \]
Для \(x = 3\): \[ y(3) = -3 + \frac{3 - 4}{4 \cdot 3 - 3^2} = -3 + \frac{-1}{12 - 9} = -3 - \frac{1}{3} = -3 - 0.33 = -3.33 \]
Для \(x = 5\): \[ y(5) = -3 + \frac{5 - 4}{4 \cdot 5 - 5^2} = -3 + \frac{1}{20 - 25} = -3 + \frac{1}{-5} = -3 - 0.2 = -3.2 \]
Теперь эти точки можно нанести на график и построить кривую функции, учитывая, что функция расходится в бесконечность при приближении к \(x = 0\) и \(x = 4\).
Шаг 5: Определение наименьшего значения \(m\)
Прямая \(y = m\) не будет пересекаться с графиком функции, если \(m\) будет меньше значений функции в её минимуме.
Из полученных значений ( \(y(1) = -4\), \(y(2) = -3.5\), \(y(3) = -3.33\), \(y(5) = -3.2\) ) видно, что функция достигает своего минимального значения \(y = -4\) при \(x = 1\).
Следовательно, прямая \(y = m\) не будет пересекаться с графиком функции, если наименьшее значение \(m\) будет:
\[ m < -4 \]
Таким образом, наименьшее значение \(m\), при котором прямая \(y = m\) не имеет общих точек с графиком функции \(y = -3 + \frac{x - 4}{4x - x^2}\), будет:
\[ m = -4 \]
Заключение
График функции построен, и мы определили, что прямая \(y = m\) не пересечётся с графиком при \(m < -4\).
